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Aufgabe

Hintertupfer Beni beim Fensterln

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Der Hintertupfer Beni ging, wie oft besungen, mit seiner \(10\,{\rm{m}}\) langen und \(25\,{\rm{kg}}\) schweren Leiter zum Fensterln. Er legte die Leiter mit einem Winkel von \(\alpha  = 72^\circ \) an die Hauswand, um zu seiner Resi aufzusteigen.

a)Zeichne in geeignetem Maßstab (Leiterlänge \(5{,}0\,{\rm{cm}}\)) eine Prinzipskizze einschließlich des Leiterschwerpunkts.

b)Als der Beni mit seinem Körpergewicht von \(80\,{\rm{kg}}\) auf die Leiter hochgestiegen ist und sich sein Schwerpunkt \(a = 1{,}0\,{\rm{m}}\) vor dem Leiterende befindet, drückt die Resi oben die Leiter (senkrecht zur Wand) von der Wand weg. Berechne den Betrag der Kraft, die sie dazu benötigt.

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a)Konstruktionsbeschreibung:

  • Trage zunächst den Winkel \(72^\circ \) zwischen waagerechtem Boden und Leiter an.
  • Nimm die Leiterlänge (\(5,0{\rm{cm}}\)) in den Zirkel und trage sie an der Leiter ab.
  • Fälle ein Lot vom oberen Leiterende auf den Boden (Hauswand).
  • Suche die Leitermitte (Schwerpunkt) \(2,5{\rm{cm}}\) vom unteren bzw. oberen Ende.

b)Zur Bestimmung des Betrags der Kraft \({{\vec F}_{\rm{R}}}\), die Resi aufbringen muss, nutzt man, dass die Summe der linksdrehenden Momente gleich der Summe der rechtsdrehenden Momente sein muss. Als Drehpunkt verwendet man das untere Leiterende.

Aus der Zeichnung sieht man, dass die Kraft, die Resi aufbringen muss, parallel zum Erdboden verläuft, der zugehörige Hebelarm beträgt \({a_{\rm{R}}} = 10{\rm{m}}\).

Anstatt nun die Kräfte \({{\vec F}_{\rm{L}}}\) und \({{\vec F}_{\rm{B}}}\) auf diese Richtung zu projizieren, projiziert man alternativ die Hebelarme von \({{\vec F}_{\rm{L}}}\) und \({{\vec F}_{\rm{B}}}\) auf den Erdboden, was in der späteren Rechnung zum gleichen Ergebnis führt.

Der Zeichnung entnimmt man \({a_{\rm{L}}} = 1,5{\rm{m}}\) (in der maßstabsgerechten Zeichnung \(7,5{\rm{mm}}\)), außerdem war angegeben \({a_{\rm{B}}} = 1,0{\rm{m}}\), \({F_{\rm{L}}} = 250{\rm{N}}\) und \({F_{\rm{B}}} = 800{\rm{N}}\).

Somit ergibt sich
\[{a_{\rm{B}}} \cdot {F_{\rm{B}}} + {a_{\rm{L}}} \cdot {F_{\rm{L}}} = {a_{\rm{R}}} \cdot {F_{\rm{R}}} \Leftrightarrow {F_{\rm{R}}} = \frac{{{a_{\rm{B}}} \cdot {F_{\rm{B}}} + {a_{\rm{L}}} \cdot {F_{\rm{L}}}}}{{{a_{\rm{R}}}}}\]
Einsetzen der gegebenen Werte ergibt
\[{F_{\rm{R}}} = \frac{{1,0{\rm{m}} \cdot 800{\rm{N}} + 1,5{\rm{m}} \cdot 250{\rm{N}}}}{{10{\rm{m}}}} = 120{\rm{N}}\]

Hier auch noch der kompliziertere Weg: Man muss die Kräfte \({{\vec F}_{\rm{L}}}\) und \({{\vec F}_{\rm{B}}}\) auf die jeweiligen Parallelen zum Erdboden und den Hebelarm von Beni auf die Richtung der Leiter projizieren. Dabei ergibt sich \({{\vec F'}_{\rm{L}}} = 81{\rm{N}}\), \({{\vec F'}_{\rm{B}}} = 260{\rm{N}}\) und \({a_{\rm{B}}} = 3,2{\rm{m}}\). Eine ähnliche Rechnung wie oben ergibt nach dem Einsetzen der Werte
\[{F_{\rm{R}}} = \frac{{3,2{\rm{m}} \cdot 260{\rm{N}} + 5,0{\rm{m}} \cdot 81{\rm{N}}}}{{10{\rm{m}}}} \approx 120{\rm{N}}\]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Einfache Maschinen