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Aufgabe

Die Last im Graben

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

In einem Graben liegt eine Kugel mit der Gewichtskraft \(F_{\rm{G,K}}=2{,}0\,\rm{kN}\). Die Kugel soll etwas angehoben werden. Zur Verfügung stehen ein Seil (Gewicht vernachlässigbar) und ein \(200\,\rm{N}\) schwerer, homogener Balken. Die Ränder des Grabens sind auf gleicher Höhe.

a)
Joachim Herz Stiftung
Abb. 1 Skizze zu Aufgabenteil a)

Gib den Betrag \(F\) der Kraft an, mit der der Mann ziehen muss.

b)
Joachim Herz Stiftung
Abb. 2 Skizze zu Aufgabenteil b)

Ermittle zeichnerisch mit einem Kräfteparallelogramm (Kräftezerlegung) die Beträge \(F_{\rm{l}}\) und \(F_{\rm{r}}\) der Kräfte, mit denen die beiden Männer links und rechts ziehen müssen. 

c)
Joachim Herz Stiftung
Abb. 3 Skizze zu Aufgabenteil c)

Ermittle die Beträge \(F_{\rm{l}}\) und \(F_{\rm{r}}\) der Kräfte, mit denen die beiden Männer links und rechts nun ziehen müssen.  Mache dazu zunächst eine Planfigur. 

d)
Joachim Herz Stiftung
Abb. 4 Skizze zu Aufgabenteil d)

Nun stehen beide Männer auf der gleichen Seite und sollen mit gleicher Kraft ziehen.

Berechne den Betrag \(F\) dieser Kraft. Mache dazu zunächst eine Planfigur. 

e)

Beurteile mit deinen Ergebnissen der Aufgabenteile a) - d), welche der vier Anordnungen für die "Hubpersonen" am schonendsten ist.

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Gegeben: Gewichtskraft der Kugel: \(F_{\rm{G,K}}=2{,}0\,\rm{kN}=2000\,\rm{N}\); Gewichtskraft des Balkens: \(F_{\rm{G,B}}=200\,\rm{N}\)

a)

Beim direkten Hochziehen muss der Mann genau die Gewichtskraft der Kugel, also eine Kraft von \(F=2{,}0\,\rm{kN}\) aufbringen.

b)
Joachim Herz Stiftung
Abb. 5 Lösung zu Aufgabenteil b)

Die Resultierende der Kräfte, die die beiden Männer aufbringen müssen, ist wieder genau die Gegenkraft zu \(\vec F_{\rm{G,K}}\).

Man zerlegt also \(\vec F_{\rm{k}}^\ast \)in Richtung der Seile und erhält\[ \begin{array}{} F_{\rm{l}} \approx 1{,}3 \rm{kN} \\F_{\rm{r}} \approx 1{,}1 \rm{kN} \end{array} \]

c)
Joachim Herz Stiftung
Abb. 6 Lösung zu Aufgabenteil c)

Man denkt sich auf der linken Seite des Balkens einen Drehpunkt \(D\). Damit der Balken im Gleichgewicht ist, muss Momentengleichgewicht herrschen. Für die Kraft \(\vec F_{\rm{r}}\) des rechten Mannes gilt dann:\[\begin{eqnarray}{F_{\rm{r}}} \cdot {a_{\rm{r}}} &=& {F_{\rm{k}}} \cdot {a_{\rm{k}}} + {F_{\rm{b}}} \cdot {a_{\rm{b}}}\\{F_{\rm{r}}} &=& \frac{{{F_{\rm{k}}} \cdot {a_{\rm{k}}} + {F_{\rm{b}}} \cdot {a_{\rm{b}}}}}{{{a_{\rm{r}}}}}\end{eqnarray}\]Der Hebelarm \(a_{\rm{b}}\) der Gewichtskraft des homogenen Balkens ist die Hälfte der Differenz von der Länge rechts des Drehpunktes und links des Drehpunktes, also \(a_{\rm{b}}=\frac{8{,}5\,\rm{m}-0{,}5\,\rm{m}}{2}=4{,}0\,\rm{m}\). Alternativ könntest du natürlich auch beide Drehmomente getrennt einbeziehen.\[{F_{\rm{r}}} = \frac{{2{,}0 \cdot {{10}^3}\,{\rm{N}} \cdot 3{,}5\,{\rm{m}} + 200\,{\rm{N}} \cdot 4{,}0\,{\rm{m}}}}{{8{,}0\,{\rm{m}}}} = 9{,}8 \cdot {10^2}\,{\rm{N}}\]Der Betrag der Kraft \(\vec F_{\rm{l}}\), die der linke Mann aufbringen muss, ergibt sich aus der Tatsache, dass die Summe aller parallel nach oben wirkenden Kräfte gleich der Summe aller parallel nach unten wirkenden Kräfte ist:\[\begin{eqnarray}{F_{\rm{l}}} + {F_{\rm{r}}} &=& {F_{\rm{k}}} + {F_{\rm{b}}}\\{F_{\rm{l}}} &=& {F_{\rm{k}}} + {F_{\rm{b}}} - {F_{\rm{r}}}\end{eqnarray}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[F_{\rm{l}} = 2{,}0 \cdot 10^3 \,\rm{N} + 200\,\rm{N} - 9{,}8 \cdot 10^2 \,\rm{N} = 1{,}22\,\rm{kN}\]

d)
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Abb. 7 Lösung zu Aufgabenteil d)

Auch hier kann für den Hebelarm des Balkens wieder mit \(a_{\rm{b}}=4{,}0\,\rm{m}\) genutzt werden:\[\begin{eqnarray}F \cdot {a_{\rm{r}}} + F \cdot {a_{\rm{l}}} &=& {F_{\rm{k}}} \cdot {a_{\rm{k}}} + {F_{\rm{b}}} \cdot {a_{\rm{b}}}\\F \cdot \left( {{a_{\rm{r}}} + {a_{\rm{l}}}} \right) &=& {F_{\rm{k}}} \cdot {a_{\rm{k}}} + {F_{\rm{b}}} \cdot {a_{\rm{b}}}\\F &=& \frac{{{F_{\rm{k}}} \cdot {a_{\rm{k}}} + {F_{\rm{b}}} \cdot {a_{\rm{b}}}}}{{{a_{\rm{r}}} + {a_{\rm{l}}}}}\end{eqnarray}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert \[F = \frac{ 2{,}0 \cdot 10^3\,\rm{N} \cdot 3{,}5\,\rm{m} + 200\,\rm{N} \cdot 4{,}0\,\rm{m}}{8{,}3\,\rm{m} + 7{,}8\,\rm{m}} = 4{,}8 \cdot 10^2\,\rm{N}\]

e)

Die vierte Anordnung ist am schonendsten für die "Hubmänner", da sie hier die geringsten Kräfte aufwenden müssen.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Einfache Maschinen