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Aufgabe

DIe Last im Graben

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Ein in einem Graben befindliche Kugel (Fk = 2,0 kN) soll etwas angehoben werden. Zur Verfügung stehen ein Seil (Gewicht vernachlässigbar) und ein 200 N schwerer, homogener Balken. Die Ränder des Grabens sind auf gleicher Höhe.

a)


Mit welcher Kraft muss der Mann ziehen?

b)


Mit welchen Kräften müssen die Männer ziehen?
Saubere zeichnerische Ermittlung!

c)

Mit welcher Kraft müssen die Männer nach
oben ziehen? Planfigur und Rechnung!
d)

Die beiden Männer sollen mit gleicher Kraft ziehen.
Wie groß ist diese jeweils? Planfigur und Rechnung!
Welche der vier Anordnungen ist für die "Hubpersonen" am schonendsten?

 

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Gegeben: Gewichtskraft der Kugel: Fk = 2, 0kN; Gewichtskraft des Balkens: Fb =200 N

a) Beim direkten Hochziehen muss der Mann die Kraft 2,0 kN aufbringen.
b)

Die Resultierende der Kräfte, welche die beiden Männer aufbringen müssen, ist die Gegenkraft zu Fk.

Man zerlegt also \( F_k^\ast \)in Richtung der Seile und erhält:

\[ \begin{array}{} F_l \approx 1,3 \mathrm{kN} \\
F_r \approx 1,1 \mathrm{kN} \end{array} \]

c)



Man denkt sich auf der linken Seite des Balkens einen Drehpunkt D. Damit der Balken im Gleichgewicht ist, muss Momentengleichgewicht herrschen. Für die Kraft Fr des rechten Mannes gilt dann:

\[ \begin{array}{} F_r \cdot a_r = F_k \cdot a_k + F_b \cdot a_b \quad \Rightarrow \quad F_r = \frac{F_k \cdot a_k + F_b \cdot a_b}{a_r} \quad \Rightarrow \\ \, \\
F_r = \frac{2,0 \cdot 10^3 \cdot 3,5 + 200 \cdot 4,0}{8,0} \mathrm{\frac{N \cdot m}{m}} = 9,8 \cdot 10^2 \mathrm{N} \end{array} \]

Die Kraft Fl, welche der linke Mann aufbringen muss, ergibt sich aus der Tatsache, dass die Summe aller parallel nach oben wirkenden Kräfte gleich der Summe aller parallel nach unten wirkenden Kräfte ist:

\[ F_l + F_r = F_k + F_b \quad \Rightarrow \quad F_l = F_k + F_b - F_r \quad \Rightarrow \quad F_l = 2,0 \cdot 10^3 \mathrm{N} + 200 \mathrm{N} - 9,8 \cdot 10^2 \mathrm{N} = 1,22 \mathrm{kN} \]

d)


\[ \begin{array}{} F \cdot a_r + F \cdot a_l = F_k \cdot a_k + F_b \cdot a_b \quad \Rightarrow \quad F \cdot \left( a_r + a_l \right) = F_k \cdot a_k + F_b \cdot a_b \quad \Rightarrow \\ \, \\
F = \frac{F_k \cdot a_k + F_b \cdot a_b}{a_r + a_l} \quad \Rightarrow \quad F = \frac{ 2,0 \cdot 10^3 \cdot 3,5 + 200 \cdot 4,0}{8,3 + 7,8} \mathrm{N} = 4,8 \cdot 10^2 \mathrm{N} \end{array} \]

Die vierte Anordnung ist am kräfteschonendsten!

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Einfache Maschinen