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Aufgabe

Präzisionswaage

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Bei Präzisionswägungen mit der Balkenwaage muss man den Auftrieb der Körper auf beiden Seiten des Waagebalkens in Luft berücksichtigen.

a)Erläutere, in welchem Fall man diese Korrektur unberücksichtigt lassen könnte.

b)Erläutere mit Hilfe einer Beispielrechnung, wann man ohne Berücksichtigung des Auftriebs eine zu große (zu kleine) Masse erhalten würde, wenn man einen Wägesatz aus Messing benutzt (\({\rho _{{\rm{Messing}}}} = 8,3\frac{{\rm{g}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\)).

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a)Man könnte diese Korrektur unberücksichtigt lassen, wenn die Objekte auf beiden Seiten das gleiche Volumen einnehmen oder die Abweichung der beiden Volumina minimal ist.

b)Wenn das Objekt, welches gewogen werden soll, eine geringe Dichte hat, dann nimmt es ein größeres Volumen als die Wägesätze ein. Ein hohes Volumen führt zu einem hohen Auftrieb in Luft. Dadurch scheint das Objekt leichter zu sein als es eigentlich ist.

Beispiel: Das Objekt ist aus Eichenholz (\({\rho _{{\rm{Holz}}}} = 0,80\frac{{\rm{g}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\)) und nimmt das Volumen \({V_{{\rm{Holz}}}}=1,0\ell \) ein. Dann nehmen die Wägestücke aus Messing (mit der gleichen Masse) wegen der höheren Dichte von Messing ein kleineres Volumen ein. Dieses berechnet sich durch\[{m_{{\rm{Messing}}}} = {m_{{\rm{Holz}}}} \Leftrightarrow {V_{{\rm{Messing}}}} \cdot {\rho _{{\rm{Messing}}}} = {V_{{\rm{Holz}}}} \cdot {\rho _{{\rm{Holz}}}} \Leftrightarrow {V_{{\rm{Messing}}}} = \frac{{{V_{{\rm{Holz}}}} \cdot {\rho _{{\rm{Holz}}}}}}{{{\rho _{{\rm{Messing}}}}}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{V_{{\rm{Messing}}}} = \frac{{1,0\ell  \cdot 0,80\frac{{\rm{g}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}}}{{8,3\frac{{\rm{g}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}}} = 0,096\ell \]Damit ergeben sich unterschiedliche Auftriebskräfte:\[{F_{{\rm{A}},{\rm{Holz}}}} = {V_{{\rm{Holz}}}} \cdot {\rho _{{\rm{Luft}}}} \cdot g \Rightarrow {F_{{\rm{A}},{\rm{Holz}}}} = 1,0\ell  \cdot 1,28\frac{{\rm{g}}}{\ell } \cdot 0,098\frac{{\rm{N}}}{{\rm{g}}} = 0,013{\rm{N}}\]und\[{F_{{\rm{A}}{\rm{,Messing}}}} = {V_{{\rm{Messing}}}} \cdot {\rho _{{\rm{Luft}}}} \cdot g \Rightarrow {F_{{\rm{A}}{\rm{,Messing}}}} = 0,096\ell  \cdot 1,28\frac{{\rm{g}}}{\ell } \cdot 0,0098\frac{{\rm{N}}}{{\rm{g}}} = 0,0012{\rm{N}}\]Das Holz erfährt also eine Auftriebskraft von \(1,3{\rm{cN}}\) und das Wägstück nur einen Auftrieb von \(0,12{\rm{cN}}\). Somit scheint das Holz auf der Waage leichter als es ist. Dieses Phänomen tritt auch andersherum auf, wenn das zu wiegende Objekt eine sehr viel höhere Dichte als das Wägstück hat.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Druck und Auftrieb