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Aufgabe

Glasplättchen dichtet Zylinder

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Joachim Herz Stiftung
Abb. 1 Bei welcher Füllhöhe im Zylinder fällt das Glasplättchen ab
Ein Glaszylinder mit der Querschnittsfläche \({A_{\rm{Z}}} = 4{,}0\,\rm{cm^2}\) mit unten anliegendem Glasplättchen (rot) mit der Gewichtskraft vom Betrag \({F_{{\rm{Glas}}}} = 20\,{\rm{cN}}\) wird bis zu einer Tiefe von \(h = 25\,\rm{cm}\) in Wasser getaucht. Nun füllt man den Glaszylinder innen mit Wasser.

a)Trage in eine Skizze die zu berücksichtigenden Kräfte ein.

b)Berechne, bei welcher Einfüllhöhe \({h'}\) des Wassers das Glasplättchen abfällt.

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a) 

Joachim Herz Stiftung
Abb. 2 Sind innerer und äußerer Druck gleichgroß, so fällt das Glasplättchen ab.

b)Aus der bekannten Formel für den Schweredruck\[p = \rho \cdot h \cdot g\]und der Definition des Drucks\[p = \frac{F}{A}\]erhält man durch Gleichsetzen\[\frac{F}{A} = \rho \cdot h \cdot g \Leftrightarrow F = \rho \cdot h \cdot g \cdot A\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{F_{{\rm{D,aussen}}}} = 0{,}001\,\frac{{{\rm{kg}}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} \cdot 25\,{\rm{cm}} \cdot 9{,}8\,\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}} \cdot 4{,}0\,\rm{cm^2} = 0{,}98\,\rm{N}\]Das Glasplättchen fällt ab, wenn die Summe aus Gewichtskraft des Glasplättchens und Druckkraft innen (\({F_{{\rm{D}},{\rm{innen}}}} = \rho \cdot h' \cdot A \cdot g\)) betraglich gleich der Druckkraft aussen ist:\[{F_{{\rm{D}},{\rm{innen}}}} + {F_{{\rm{G}}{\rm{,Glas}}}} = {F_{{\rm{D}},{\rm{aussen}}}} \Leftrightarrow {F_{{\rm{D}},{\rm{innen}}}} = {F_{{\rm{D}},{\rm{aussen}}}} - {F_{{\rm{G}}{\rm{,Glas}}}} = 0{,}98\,\rm{N} - 0{,}20\,\rm{N} = 0{,}78\,\rm{N}\]Damit ergibt sich\[\rho \cdot h' \cdot A \cdot g = 0{,}78\,\rm{N} \Leftrightarrow h' = \frac{0{,}78\,\rm{N}}{\rho \cdot A \cdot g} \Rightarrow h' = \frac{0{,}78\,\rm{N}}{0{,}001\,\rm{\frac{kg}{cm^3}} \cdot 4{,}0\,\rm{cm^2} \cdot 9{,}8\,\rm{\frac{N}{kg}}} = 0{,}20\,\rm{cm}\]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Druck und Auftrieb