Die Gewichtskraft eines Eies beträgt in Luft \(61{,}0\,\rm{cN}\), in Wasser scheinbar \(6{,}00\,\rm{cN}\).
a)
Joachim Herz Stiftung
Abb. 1 Ei in Kochsalzlösung
Berechne das Volumen des Eies.
b)
Berechne die Dichte einer Kochsalzlösung, in der das Ei schwebt.
c)
Berechne, wie viele Kubikzentimeter des Eies über die Oberfläche ragen, wenn es in einer Kochsalzlösung der Dichte \(1{,}18\frac{{\rm{g}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\) schwimmt.
Allgemein gilt für den Betrag \({F_{\rm{G}}}^\prime \) der scheinbaren Gewichtskraft eines Körpers mit dem Volumen \(V\) in einem Medium\[{F_{\rm{G}}}^\prime = {F_{\rm{G}}} - {F_{\rm{A}}} = m \cdot g - V \cdot {\rho _{{\rm{Medium}}}} \cdot g\]Für den Fall, dass sich das Ei in Luft befindet, gilt\[61{,}0\,{\rm{cN}} = m \cdot g - {V_{{\rm{Ei}}}} \cdot {\rho _{{\rm{Luft}}}} \cdot g\quad (1)\], für den Fall, dass sich das Ei in Wasser befindet\[6,0{\rm{cN}} = m \cdot g - {V_{{\rm{Ei}}}} \cdot {\rho _{{\rm{Wasser}}}} \cdot g\quad(2)\]Subtrahiert man \((1)\) von \((2)\), so erhält man\[55{,}0\,\rm{cN} = - {V_{{\rm{Ei}}}} \cdot {\rho _{{\rm{Wasser}}}} \cdot g - \left( { - {V_{{\rm{Ei}}}} \cdot {\rho _{{\rm{Luft}}}} \cdot g} \right) = {V_{{\rm{Ei}}}} \cdot g \cdot \left( {{\rho _{{\rm{Wasser}}}} - {\rho _{{\rm{Luft}}}}} \right) \Leftrightarrow {V_{{\rm{Ei}}}} = \frac{{55{,}0\,\rm{cN}}}{{g \cdot \left( {{\rho _{{\rm{Wasser}}}} - {\rho _{{\rm{Luft}}}}} \right)}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{V_{{\rm{Ei}}}} = \frac{{0{,}550\,\rm{N}}}{{9{,}81\,\rm{\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}}} \cdot \left( {1000\,\rm{\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}} - 1\,\rm{\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}}} \right)}} = 0{,}0000561\,{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\]
b)
Für den Fall, dass das Ei in einer Kochsalzlösung (Salzwasser) schwebt, gilt mit \({F_{\rm{G}}} \approx {F_{{\rm{G}}{\rm{,Luft}}}}^\prime = 61{,}0\,{\rm{cN}}\)\[{F_{\rm{G}}} = {F_{{\rm{A}}{\rm{,Salzwasser}}}} \Leftrightarrow 61{,}0\,{\rm{cN}} = {V_{{\rm{Ei}}}} \cdot {\rho _{{\rm{Salzwasser}}}} \cdot g \Leftrightarrow {\rho _{{\rm{Salzwasser}}}} = \frac{{61{,}0\,{\rm{cN}}}}{{{V_{{\rm{Ei}}}} \cdot g}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{\rho _{{\rm{Salzwasser}}}} = \frac{{61{,}0\,{\rm{cN}}}}{{0{,}0000561\,{{\rm{m}}^{\rm{3}}} \cdot 9{,}81\,\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}}}} = 1110\,\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} = 1{,}11\,\frac{{\rm{g}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\]
c)
Beim Schwimmen gilt, dass die Beträge von Auftriebskraft und Gewichtskraft des Körpers gleich sind. Mit \({F_{\rm{A}}} = {V_{{\rm{unter Wasser}}}} \cdot {\rho _{{\rm{Salzwasser}}}} \cdot g\) und \({F_{\rm{G}}} \approx {F_{{\rm{G}}{\rm{,Luft}}}}^\prime = 61{,}0\,{\rm{cN}}\) ergibt sich\[{F_{\rm{A}}} = {F_{\rm{G}}} \Leftrightarrow {V_{{\rm{unter Wasser}}}} \cdot {\rho _{{\rm{Salzwasser}}}} \cdot g = 61{,}0\,{\rm{cN}} \Leftrightarrow {V_{{\rm{unter Wasser}}}} = \frac{{61{,}0\,{\rm{cN}}}}{{{\rho _{{\rm{Salzwasser}}}} \cdot g}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{V_{{\rm{unter Wasser}}}} = \frac{{61{,}0\,{\rm{cN}}}}{{1180\,\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} \cdot 9{,}81\,\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}}}} = 0{,}0000523\,{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\]Damit erhält man\[{V_{{\rm{über}}\;{\rm{Wasser}}}} = {V_{{\rm{Ei}}}} - {V_{{\rm{unter Wasser}}}} = 0{,}0000561\,{{\rm{m}}^{\rm{3}}} - 0{,}0000523\,{{\rm{m}}^{\rm{3}}} = 0{,}0000038\,{{\rm{m}}^3} = 3{,}8\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\]
