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Aufgabe

Druck an der Staumauer

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

CC-BY-NC 4.0 / Benedikt Flurl, Joachim Herz Stiftung
Abb. 1 Skizze zur Aufgabenstellung

Hinweis: Nur für Lernende lösbar, die integrieren können.

Staumauern von Stauseen sind enorm hohen Drücken ausgesetzt.

Berechne den Betrag der gesamten Kraft, die auf die abgebildete Staumauer wirkt. Dabei sei \(b=200\,\rm{m}\) die Breite der Staumauer.

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CC-BY-NC 4.0 / Benedikt Flurl, Joachim Herz Stiftung
Abb. 2 Skizze zur Lösung

Wir führen wie in Abb. 2 gezeigt eine Koordinatenachse vom Wasserspiegel bis zum Grund des Stausees ein. Dann ergibt sich für die Verteilung vom Druck entlang \(x\)\[p(x)=p_0+\rho \cdot g \cdot x\]Die resultierende Kraft auf die Staumauer erhält man über das Integral\[F = \int\limits_0^h {p(x)\;dA} \]Das infinitesimale Flächenelement \(dA\) wird mit \(x\) und der Breite \(b\) der Staumauer  bestimmt\[dA=b \cdot dx\]Damit ergibt sich\[\begin{eqnarray}F &=& \int\limits_0^h {p(x) \cdot b \cdot dx} \\ &=& \int\limits_0^h {\left( {{p_0} + \rho  \cdot g \cdot x} \right) \cdot b \cdot dx} \\ &=& \int\limits_0^h {\left( {{p_0} \cdot b + \rho  \cdot g \cdot x \cdot b} \right) \cdot dx} \\ &=& \left[ {{p_0} \cdot b \cdot x + \frac{1}{2} \cdot \rho  \cdot g \cdot b \cdot {x^2}} \right]_0^h\\ &=& {p_0} \cdot b \cdot h + \frac{1}{2} \cdot \rho  \cdot g \cdot b \cdot {h^2}\end{eqnarray}\]Man erkennt, dass der Anteil durch den Umgebungsdruck vernachlässigbar ist. Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[F = 1{,}0 \cdot {10^5}\,{\rm{Pa}} \cdot 200\,{\rm{m}} \cdot 100\,{\rm{m}} + \frac{1}{2} \cdot 1000\,\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^3}}} \cdot 10\,\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}} \cdot 200\,{\rm{m}} \cdot {\left( {100\,{\rm{m}}} \right)^2} = 1{,}2 \cdot {10^{10}}\,{\rm{N}}\]Staumauern werden in der Regel nicht gerade gebaut, sondern gebogen, um eine bessere Kraftverteilung zu erreichen.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Druck und Auftrieb