Eine Badeplattform aus Holz der Dichte \(\rho_{rm{H}}=0{,}60\,\rm{\frac{g}{cm^3}}\) ist \(5{,}0\,\rm{m}\) lang, \(4{,}0\,\rm{m}\) breit und \(35\,\rm{cm}\) hoch.
a)
Berechne, wie viele Zentimeter (in der Höhe) die Plattform aus dem Wasser ragt, wenn niemand auf ihr steht (das Gewicht der Aluminiumleiter kann vernachlässigt werden).
b)
Nun sitzen Kinder auf der Plattform. Bestimme die Masse, die die Kinder zusammen haben dürfen, damit die Plattform gerade vollständig in das Wasser eintaucht.
h' sei die Höhe der Plattform, die aus dem Wasser herausragt, h sei die gesamte Höhe der Plattform, l und b deren Länge bzw. Breite.
Bedingung für das Schwimmen der Plattform:
Auftriebskraft = Gewichtskraft der Plattform
Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit = Gewichtskraft der Plattform
\[\begin{array}{l}l \cdot b \cdot (h - h') \cdot {\rho _w} \cdot g = l \cdot b \cdot h \cdot {\rho _h} \cdot g \Rightarrow h \cdot {\rho _w} - h' \cdot {\rho _w} = h \cdot {\rho _h} \Rightarrow \\h' = h \cdot \frac{{{\rho _w} - {\rho _h}}}{{{\rho _w}}} \Rightarrow h' = 35 \cdot \frac{{1,00 - 0,60}}{{1,00}}cm = 14cm\end{array}\]
Die Plattform ragt um 14cm aus dem Wasser.
b)
Bedingung für das Schweben der Plattform:
Gewichtskraft von Plattform und Kindern = Auftriebskraft
Gewichtskraft von Plattform und Kindern = Gewichtskraft der verdr. Flüssigkeit
\[\begin{array}{l}l \cdot b \cdot h \cdot {\rho _h} \cdot g + {m_k} \cdot g = l \cdot b \cdot h \cdot {\rho _w} \cdot g \Rightarrow {m_k} \cdot g = l \cdot b \cdot h \cdot {\rho _w} \cdot g - l \cdot b \cdot h \cdot {\rho _h} \cdot g \Rightarrow \\{m_k} = l \cdot b \cdot h \cdot ({\rho _w} - {\rho _h}) \Rightarrow {m_k} = 5,0 \cdot 4,0 \cdot 0,35 \cdot (1,0 - 0,60) \cdot {10^3}kg = 2,8t\end{array}\]
Die Kinder dürften zusammen eine Masse von 2,8t haben.