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Aufgabe

Aräometer

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Zur Dichtbestimmung von Flüssigkeiten könnte man die Masse und das Volumen einer Probe der Flüssigkeit messen und dann den Quotienten bilden. Dies ist aber etwas umständlich, da man z.B. einen Messzylinder und eine Waage bräuchte.

Einfacher geht die Dichtemessung mit dem Aräometer, das im einfachsten Fall ein langes zylindrisches Glasgefäß ist. In ihm befindet sich abgeschlossen Luft und eine Beschwerung (meist Bleikügelchen) im unteren Teil.

Taucht man ein Aräometer, das z.B. \(20\,\rm{cN}\), also \(20\cdot 10^{-2}\,\rm{N}\) wiegt, in Wasser mit der Dichte \(\rho = 1{,}0\,\rm{\frac{g}{cm^3}}\), so taucht es so weit ein, bis die Auftriebskraft (= Gewicht des verdrängten Wassers) auch \(20\,\rm{cN}\) beträgt.

Hinweis: Rechne im folgenden mit \(g = 10\,\rm{\frac{m}{s^2}}\)

a)Wie viel Wasser wird durch das obige Aräometer verdrängt?

b)Wie weit taucht das Aräometer in das Wasser ein, wenn die mittlere Querschnittsfläche des Aräometers 1,0 cm2 beträgt?

c)Beantworte die Fragen a) und b) für den Fall, dass man das Aräometer nicht in Wasser sondern in Alkohol (ρ = 0,80 g/cm3) taucht.

d)Wie müsste man vorgehen, damit man das Aräometer für verschiedene Flüssigkeiten zur Dichtemessung einsetzen könnte?

e)Warum befindet sich die Beschwerung des Aräometers in dessen Unterteil?

f)Ein Lehrmittelfirma bietet einen Satz von 3 Aräometern für die Bereiche 0,7 - 1,0 g/ml, 1,0 - 1,5 g/ml und 1,5 - 2,0 g/ml an (vgl. Abbildung). Ordne die skizzierten Aräometer den drei Bereichen zu und gib hierfür eine Begründung.

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a)Im Gleichgewichtsfall muss die Auftriebskraft genauso groß sein, wie die Gewichtskraft des Aräometers. Nach dem Gesetz von Archimedes gilt dann:

\({F_a} = {\rho _w} \cdot g \cdot {V_w} \Rightarrow {V_w} = \frac{{{F_a}}}{{{\rho _w} \cdot g}}\)

Für die Dichte von Wasser gilt:

\[{\rho _w} = 1{,}0\,\rm{\frac{kg}{dm^3}} = 1{,}0 \cdot {10^3}\,\rm{\frac{kg}{m^3}}\]

Somit ergibt sich für das verdrängte Wasservolumen:

\({V_{al}} = \frac{{2,0 \cdot {{10}^{ - 2}}}}{{1,0 \cdot {{10}^3} \cdot 10}}\rm{\frac{{N \cdot {m^3} \cdot {s^2}}}{{kg \cdot m}}} = 20 \cdot {10^{ - 6}}\,\rm{m^3} = 20\,\rm{cm^3}\)

b)Für die Eintauchtiefe in Wasser folgt somit: \[{h_w} = \frac{{{V_w}}}{A} \Rightarrow {h_w} = \frac{{20}}{{1,0}}\,\rm{cm} = 20\,\rm{cm}\]

c)Für Alkohol gilt mit ähnlichen Rechnungen wie bei a) und b): \[{V_{al}} = \frac{{{F_a}}}{{{\rho _{al}} \cdot g}} \Rightarrow {V_{al}} = \frac{{2,0 \cdot {{10}^{ - 2}}}}{{0,80 \cdot {{10}^3} \cdot 10}}\rm{\frac{{N \cdot {m^3} \cdot {s^2}}}{{kg \cdot m}}} = 25\,\rm{cm^3}\] \[{h_{al}} = \frac{25}{1{,}0}\,\rm{cm} = 25\,\rm{cm}\]

Ein und dasselbe Aräometer taucht also in die weniger dichte Flüssigkeit tiefer ein.

d)Man taucht das Aräometer zunächst in mehrere Flüssigkeiten, deren Dichte man kennt und deren Dichtewerte deutlich verschieden sind. Man markiert am Aräometer jeweils die Flüssigkeitshöhe und schreibt den bekannten Dichtewert dazu. Durch Unterteilung der so gewonnenen groben Skala ist man in der Lage mit dem Aräometer die Dichte unbekannter Flüssigkeiten zu bestimmen.

e)Damit das Aräometer beim Eintauchen eine stabile Lage einnimmt und nicht umkippt.

f)Aus den Formeln von Teilaufgabe a) und b) lässt sich die folgende Beziehung herleiten: \[h = \frac{{{F_a}}}{{\rho \cdot g \cdot A}}\] Will man unabhängig von der Flüssigkeitsdichte immer - wegen der stabilen Lage - eine mittlere Eintauchtiefe erreichen, so muss bei fester Querschnittsfläche A der Quotient aus Fa/ρ konstant sein. Also nimmt man für kleinere Dichten das linke Aräometer mit dem kleineren Gewicht. Zu ihm gehört der Dichtebereich 0,7 - 1,0 g/ml. Zum rechten Aräometer gehört dann der Bereich 1,5 - 2,0 g/ml.

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