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Grundwissen

Schweredruck

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Theorie

Aufgrund des Gewichtes einer Flüssigkeitssäule herrscht an deren Grund ein Bodendruck (Schweredruck).

Berechnung des Schweredruckes am Boden einer Flüssigkeitssäule der Dichte ρ , der Querschnittsfläche A und der Höhe h:

\(p = \frac{{{F_g}}}{A}\)

Da Fg = m · g ist (g: Erdbeschleunigung ) ergibt sich:

\(p = \frac{{m \cdot g}}{A}\)

Die Masse lässt sich durch Volumen und Dichte der Säule ausdrücken:

m = V · ρ und somit \(p = \frac{{V \cdot \rho \cdot g}}{A}\).

Für das Volumen lässt sich V = A · h schreiben und somit:

\(p = \rho \cdot g \cdot h\)

Hinweise:

  • Der Schweredruck hängt nicht von der Querschnittsfläche und nicht von der Form der Flüssigkeitssäule ab, sondern nur von deren Höhe und Dichte.
  • Will man den Schweredruck in Pa (= N/m2) angeben, so braucht man die Dichte in der Einheit kg/m3 und die Höhe in der Einheit m.

 

Anmerkungen:

  • Der reibungsfrei bewegliche Kolben in nebenstehender Anordnung bewegt sich nicht nach links, wenn Gasdruck und äußerer Luftdruck b gleich groß sind, d.h. die Druckkräfte im Gleichgewicht sind.

 

  • Der Luftdruck hängt von der Wetterlage ab. Er ist in Meereshöhe durchschnittlich größer (1 bar) als bei uns in München. Man kann den Luftdruck mit einem Barometer messen. Sehr genaue Barometer sind die Flüssigkeitsbarometer.
    Da über dem Quecksilber kein Gas ist, das Druckkräfte erzeugt, ist der Druck der Quecksilbersäule in A (Bodendruck) so groß wie der Luftdruck in B. Wäre einer der beiden Drucke größer, so würde sich die U-förmige Flüssigkeitssäule unterhalb der Linie A---B in Bewegung setzen. Vom Normaldruck spricht man, wenn die Quecksilbersäule h = 760 mm hoch ist.

 

Um Aufgaben zum Schweredruck zu lösen musst du häufig die Gleichung \(p = \rho \cdot g \cdot h\) nach einer Größe auflösen, die unbekannt ist. Wie du dabei vorgehen kannst, zeigt die folgende Animation:

Die Gleichung\[\color{Red}{p} = {\rho} \cdot {g} \cdot {h}\]ist bereits nach \(\color{Red}{p}\) aufgelöst. Du brauchst also keine Umformungen durchzuführen.
Um die Gleichung\[{p} = \color{Red}{\rho} \cdot {g} \cdot {h}\]nach \(\color{Red}{\rho}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[ \color{Red}{\rho} \cdot {g} \cdot {h} = {p}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \( {g} \cdot {h}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \( {g} \cdot {h}\) im Nenner steht.
\[\frac{{ \color{Red}{\rho} \cdot {g} \cdot {h}}}{ {g} \cdot {h}} = \frac{{p}}{ {g} \cdot {h}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \( {g} \cdot {h}\).\[\color{Red}{\rho} = \frac{{p}}{ {g} \cdot {h}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{\rho}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[{p} = {\rho} \cdot \color{Red}{g} \cdot {h}\]nach \(\color{Red}{g}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[ {\rho} \cdot \color{Red}{g} \cdot {h} = {p}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \( {\rho} \cdot {h}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \( {\rho} \cdot {h}\) im Nenner steht.
\[\frac{{ {\rho} \cdot \color{Red}{g} \cdot {h}}}{ {\rho} \cdot {h}} = \frac{{p}}{ {\rho} \cdot {h}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \( {\rho} \cdot {h}\).\[\color{Red}{g} = \frac{{p}}{ {\rho} \cdot {h}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{g}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[{p} = {\rho} \cdot {g} \cdot \color{Red}{h}\]nach \(\color{Red}{h}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[ {\rho} \cdot {g} \cdot \color{Red}{h} = {p}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \( {\rho} \cdot {g}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \( {\rho} \cdot {g}\) im Nenner steht.
\[\frac{ {\rho} \cdot {g} \cdot \color{Red}{h}}{ {\rho} \cdot {g}} = \frac{{p}}{ {\rho} \cdot {g}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \( {\rho} \cdot {g}\).\[\color{Red}{h} = \frac{{p}}{ {\rho} \cdot {g}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{h}\) aufgelöst.
Abb. 4 Schrittweises Auflösen der Formel für den Schweredruck nach den vier in der Formel auftretenden Größen

Die nebenstehende Anordnung zeigt ein U-Rohr-Manometer. Es dient zur Messung von Druckänderungen (Druckunterschieden).

Berechne, wie groß der Unterschied zwischen Gasdruck und Luftdruck ist, wenn h = 37 mm ist.

Berechne, wie groß der Gasdruck ist, wenn b = 925 hPa ist.