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Aufgabe

Überdruckventil am Dampfkochtopf

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Die nebenstehende Skizze zeigt das Modell eines Überdruckventils bei einem Dampftopf. Der Arm B ist an der linken Seite drehbar gelagert. Auf ihm ist der Körper A (Fa = 0,25 N) verschiebbar. Das Gewicht des Arms B werde zunächst vernachlässigt.

a)Erläutere die Funktionsweise des Überdruckventils.

b)Der Dampf übt eine Kraft von 0,60 N auf das Ventil aus. Wo muss sich in diesem Fall der Körper A befinden? Maße sind aus der Zeichnung zu entnehmen.

c)Die wirksame Fläche des Ventils, auf welche der Dampf einwirken kann, sei 4,0 mm2. Berechne die Differenz zwischen dem äußeren Luftdruck und dem Druck im Topf.

d)Nun werde das Gewicht des Arms B von 0,10 N nicht mehr vernachlässigt. Wie weit und in welche Richtung muss der Körper A gegenüber der in Teilaufgabe b) berechneten Position verschoben werden?

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a)Steigt der Druck im Topf über einen gewissen zulässigen Wert, so ist die Kraft auf das Ventil an der Stelle C so groß, dass das Überdruckventil angehoben werden kann. Der Dampf entweicht und der Druck im Topf sinkt wieder ab.

b)Momentengleichgewicht am einseitigen Hebel mit dem Drehpunkt D:\[{F_a} \cdot {a_a} = {F_c} \cdot {a_c} \Rightarrow {a_a} = \frac{{{F_c} \cdot {a_c}}}{{{F_a}}}\] \[\Rightarrow {a_a} = \frac{{0,60 \cdot 10}}{{0,25}}\,\rm{mm} = 24\,\rm{mm}\]

c)Der Druckunterschied ergibt sich aus \[\Delta p = \frac{{{F_c}}}{A} \Rightarrow \Delta p = \frac{{0{,}60\,\rm{N}}}{{4{,}0 \cdot {{10}^{ - 6}}{\rm{m}^2}}} = 1{,}5 \cdot {10^5}\,\rm{Pa}\]

d)Der Arm B ist 32 mm lang. Da der Körper homogen ist, liegt der Schwerpunkt S in der Mitte und somit 14 mm vom Drehpunkt entfernt.

Momentengleichgewicht am einseitigen Hebel mit dem Drehpunkt D:\[\begin{array}{l}{a_s} \cdot {F_s} + a{*_a} \cdot {F_a} = {a_c} \cdot {F_c} \Rightarrow a{*_a} \cdot {F_a} = {a_c} \cdot {F_c} - {a_s} \cdot {F_s} \Rightarrow \\a{*_a} = \frac{{{a_c} \cdot {F_c} - {a_s} \cdot {F_s}}}{{{F_a}}} \Rightarrow \\a{*_a} = \frac{{0,60 \cdot 10 - 0,10 \cdot 14}}{{0,25}}mm \approx 18mm\end{array}\]

Der Körper A muss also um etwa 6 mm nach links verschoben werden.