Druck und Auftrieb

Gegeben: \(\rho  = 1000\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\;;\;{h_0} = 8{\rm{cm}}\;;\;l = 20{\rm{cm}}\;;\;b = 18{\rm{cm}}\;;\;m = 45{\rm{kg}}\)

Für den Überdruck gilt

\[p_0 = \rho  \cdot g \cdot h_0\]

Mit \(\rho = 1000\,\frac{\rm{kg}}{\rm{m^3}}\) und \(h_0 = 8\,\rm{cm}\) folgt

\[p_0 = 1000\,\frac{\rm{kg}}{\rm{m^3}} \cdot 9{,}81\,\rm{\frac{m}{s^2}} \cdot  8\,\rm{cm} = 785\,\rm{Pa}=7{,}85\,\rm{hPa}\]

Für den neuen Überdruck gilt

\[{p = \frac{F}{A} + {p_0}}\]

und mit \(F = m \cdot g\) und \(A= l \cdot b\) folgt

\[p = \frac{{m \cdot g}}{{l \cdot b}} + {p_0}\]

Einsetzen der gegebenen Werte \(m = 45\,\rm{kg}\), \(l = 20\,\rm{cm} = 0{,}20\,\rm{m}\) und \(b = 18\,\rm{cm}=0{,}18\,\rm{m}\) liefert einen Überdruck von

\[p = \frac{45\,\rm{kg}\cdot 9{,}81\,\rm{\frac{m}{s^2}}}{0{,}20\,\rm{m}\cdot 0{,}18\,\rm{m}} + 7{,}85\,\rm{hPa} = 123\,\rm{hPa} + 7{,}85\,\rm{hPa}\]

Die Steighöhe ergibt sich aus

\[\begin{eqnarray}p &=& \rho \cdot g \cdot h \\ h &=& \frac{p}{\rho \cdot g}\end{eqnarray}\]

Einsetzen der Werte \(p = 131\,\rm{hPa} = 13100\,\rm{\frac{N}{m^2}}\), \(\rho = 1000\,\rm{\frac{kg}{m^3}}\) liefert

\[h = \frac{13100\,\rm{\frac{N}{m^2}}}{1000\,\rm{\frac{kg}{m^3}}\cdot 9{,}81\,\rm{\frac{m}{s^2}}} = 1{,}34\,\rm{m}\]