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Aufgabe

Gut geflossen

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Hinweis: Diese Aufgabe wurde im Rahmen des bundesweiten Wettbewerbs Physik 2003 - 1. Runde für Fortgeschrittene gestellt. Wenn Du dich mit den neuen Aufgaben des Wettbewerbs auseinandersetzen willst, so gehe zur MNU-Seite (Wettbewerb Physik).

Ein Gefäß hat den in der Zeichnung dargestellten Querschnitt. Es ist bis zur jeweils angegebenen Höhe mit Wasser gefüllt. Die beiden Teilgefäße lassen sich einzeln erhitzen. Betrachte folgende vier Fälle:

1.Unterer Füllstand, Heizung links    

2.Unterer Füllstand, Heizung rechts

3.Oberer Füllstand, Heizung links    

4.Oberer Füllstand, Heizung rechts

Untersuche, ob jeweils Wasser im waagerechten Verbindungsstück fließt - und wenn ja, in welche Richtung.

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Vorüberlegungen

Ausgangsituation für den 3. und 4. Fall

Ausgangsituation für den 1. und 2. Fall

  • Im erwärmten Gefäß wird das Volumen \({V_{\rm{W}}}\) des Wassers größer und damit verbunden die Dichte \({\rho _{\rm{W}}}\) des Wassers kleiner.

  • Der Schweredruck \(p_\rm{S}\) am Grunde einer Wassersäule der Höhe \(h\) ist durch die Beziehung \({p_\rm{S}} = \rho _{\rm{W}} \cdot g \cdot h \quad(1)\) gegeben.

  • Wenn im linken und im rechten Teilgefäß auf der Höhe des Verbindungsrohres unterschiedlicher Druck herrscht, fließt Wasser durch das Rohr in Richtung des Gefäßes mit dem niedrigeren Druck am Boden.

1. Fall: Unterer Füllstand, Heizung links

Im Bereich des unteren Füllstandes ist die Querschnittsfläche \({A_\rm{l}}\) des linken Gefäßes konstant. Aus der Beziehung
\[{m_{\rm{W}}} = {V_{\rm{W}}} \cdot {\rho _{\rm{W}}} = {A_\rm{l}} \cdot h \cdot {\rho _{\rm{W}}}\]
erkennt man, da \({m_{\rm{W}}}\) und \({A_{\rm{l}}}\) konstant sind, dass die Höhe und die Wasserdichte zueinander umgekehrt proportional sind. Aufgrund der Beziehung \((1)\) ändert sich der Druck im linken Gefäß in Höhe des Verbindungsrohres nicht. Daraus folgt, dass kein Wasser durch das Verbindungsrohr fließt.

2. Fall: Unterer Füllstand, Heizung rechts

Gleiche Argumentation wie im 1. Fall: Es fließt kein Wasser durch das Verbindungsrohr.

3. Fall: Oberer Füllstand, Heizung links

Der Querschnitt des linken Teilgefäßes nimmt nach oben hin ab (konisch schließender Verlauf). Dadurch nimmt die Höhe des Wasserspiegels stärker zu als im zylindrischen Fall (1. Fall). Da im 3. Fall die Erwärmungsart gleich ist wie im 1. Fall, nimmt die Wasserdichte in beiden Fällen auf die gleiche Art ab. Als Ergebnis steigt der Schweredruck im linken Teilgefäß im Vergleich zum rechten Teilgefäß an: Das Wasser im Verbindungsrohr fließt von links nach rechts.

4. Fall: Oberer Füllstand, Heizung rechts

Der Querschnitt des rechten Teilgefäßes nimmt nach oben hin zu (konisch öffnender Verlauf). Dadurch nimmt die Höhe des Wasserspiegels weniger stark zu als im zylindrischen Fall (2. Fall). Als Folge davon sinkt der Schweredruck im rechten Teilgefäß im Vergleich zum linken Teilgefäß ab.: Das Wasser im Verbindungsrohr fließt von links nach rechts.