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Aufgabe

Zeit-Weg-Gesetz der gleichmäßig beschleunigten Bewegung - Formelumstellung

Schwierigkeitsgrad: leichte Aufgabe

Um Aufgaben zum Zeit-Weg-Gesetz der gleichmäßig beschleunigten Bewegung zu lösen musst du häufig die Gleichung \(s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2\) nach einer Größe auflösen, die unbekannt ist. Wie du das machen kannst, siehst du in der folgenden Animation.

Die Gleichung\[\color{Red}{s} = {\frac{1}{2}} \cdot {a} \cdot {t}^2\]ist bereits nach \(\color{Red}{s}\) aufgelöst. Du brauchst also keine Umformungen durchzuführen.
Um die Gleichung\[{s} = {\frac{1}{2}} \cdot \color{Red}{a} \cdot {t}^2\]nach \(\color{Red}{a}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[{\frac{1}{2}} \cdot \color{Red}{a} \cdot {t}^2 = {s}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({\frac{1}{2}} \cdot {t}^2\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \({\frac{1}{2}} \cdot {t}^2\) im Nenner steht.
\[\frac{{{\frac{1}{2}} \cdot \color{Red}{a} \cdot {t}^2}}{{\frac{1}{2}} \cdot {t}^2} = \frac{{s}}{{\frac{1}{2}} \cdot {t}^2}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({\frac{1}{2}} \cdot {t}^2\) und vereinfache die rechte Seite der Gleichung.\[\color{Red}{a} = \frac{{s}}{{\frac{1}{2}} \cdot {t}^2} = \frac{2 \cdot s}{{t}^2}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{a}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[{s} = {\frac{1}{2}} \cdot {a} \cdot \color{Red}{t}^2\]nach \(\color{Red}{t}\) aufzulösen, musst du vier Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[{\frac{1}{2}} \cdot {a} \cdot \color{Red}{t}^2 = {s}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({\frac{1}{2}} \cdot {a}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \({\frac{1}{2}} \cdot {a}\) im Nenner steht.
\[\frac{{\frac{1}{2}} \cdot {a} \cdot \color{Red}{t}^2}{{\frac{1}{2}} \cdot {a}} = \frac{{s}}{{\frac{1}{2}} \cdot {a}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({\frac{1}{2}} \cdot {a}\) und vereinfache die rechte Seite der Gleichung.\[\color{Red}{t}^2 = \frac{{s}}{{\frac{1}{2} \cdot {a}}} = \frac{2 \cdot s}{{a}}\]
Ziehe auf beiden Seiten der Gleichung die Quadratwurzel.\[\color{Red}{t} = \sqrt{\frac{2 \cdot {s}}{{a}}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{t}\) aufgelöst.
Abb. 1 Schrittweises Auflösen des Zeit-Weg-Gesetzes der gleichmäßig beschleunigten Bewegung nach den drei in der Formel auftretenden Größen
a)

Ein Körper bewegt sich gleichmäßig beschleunigt mit der Beschleunigung \(15\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}\).

Berechne die Strecke, die der Körper nach der Zeit \(6{,}0\,{\rm{s}}\) zurückgelegt hat.

b)

Ein Körper bewegt sich gleichmäßig beschleunigt und legt in der Zeit \(6{,}0\,{\rm{s}}\) eine Strecke von \(72\,{\rm{m}}\) zurück.

Berechne die Beschleunigung des Körpers.

c)

Ein Körper bewegt sich gleichmäßig beschleunigt mit der Beschleunigung \(5{,}00\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}\).

Berechne die Zeit, die der Körper zum Zurücklegen der Strecke \(160\,\rm{m}\) benötigt.

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a)

Mit \(a=15\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}\) und \(t=6{,}0\,{\rm{s}}\) nutzen wir das Zeit-Weg-Gesetz der gleichmäßig beschleunigten Bewegung\[s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[s = \frac{1}{2} \cdot 15\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot \left(6{,}0\,{\rm{s}}\right)^2 = 270\,\rm{m}\]

b)

Mit \(s=72\,{\rm{m}}\) und \(t=6{,}0\,{\rm{s}}\) erhalten wir mit dem Zeit-Weg-Gesetz der gleichmäßig beschleunigten Bewegung\[s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 \Leftrightarrow a = \frac{2 \cdot s}{t^2}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[a = \frac{2 \cdot 72\,{\rm{m}}}{\left(6{,}0\,{\rm{s}}\right)^2} = 4{,}0\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}\]

 

c)

Mit \(s=160\,\rm{m}\) und \(a=5{,}00\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}\) erhalten wir mit dem Zeit-Weg-Gesetz der gleichmäßig beschleunigten Bewegung\[s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 \Rightarrow t = \sqrt {\frac{{2 \cdot s}}{a}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[t = \sqrt{\frac{2 \cdot 160\,\rm{m}}{5{,}00\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}}} = 8{,}00\,\rm{s}\]

 

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