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Aufgabe

Analyse eines 100m-Laufs

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Der \(100\rm{m}\)-Lauf wird oft als die Königsdisziplin der Leichtathletik bezeichnet. Die folgende Abbildung zeigt die verschiedenen Phasen eines \(100\rm{m}\)-Laufs:

a)Bei den Olympischen Spielen in Seoul 1988 schlug Ben Johnson im \(100\rm{m}\)-Finale den favorisierten Carl Lewis in \(9,79\rm{s}\). Dieser Lauf wurde besonders genau dokumentiert, indem alle \(10\rm{m}\) eine Messanlage aufgestellt wurde. Dabei ergaben sich für die beiden Läufer die folgenden Zeiten:

Ort \(s\) in \(\rm{m}\) \(0\) \(10\) \(20\) \(30\) \(40\) \(50\) \(60\) \(70\) \(80\) \(90\) \(100\)
Zeit von Johnson in \(\rm{s}\) \(0\) \(1,95\) \(2,93\) \(3,81\) \(4,69\) \(5,52\) \(6,37\) \(7,22\) \(8,06\) \(8,93\) \(9,79\)
Zeit von Lewis in \(\rm{s}\) \(0\) \(1,97\) \(3,00\) \(3,89\) \(4,81\) \(5,65\) \(6,53\) \(7,37\) \(8,23\) \(9,06\) \(9,92\)

Zeichne die \(t\)-\(s\)-Werte beider Läufer in ein Diagramm (Farbe verwenden). Entscheide mit Hilfe des Diagramms, ob Johnson einen Start-Ziel-Sieg erreicht hat (d.h. er war stets vor Lewis). Verwende eine halbe DIN-A4-Seite für das Diagramm.

b)Berechne die mittleren Geschwindigkeiten der Läufer in den einzelnen Wegabschnitten und erstelle aus diesen Werten ein \(t\)-\(v\)-Diagramm.

c)Beschreibe mit Hilfe der Graphik aus Teilaufgabe b) den Geschwindigkeitsverlauf in Worten und begründe, warum im ersten Bild der Aufgabenstellung der Begriff "Beschleunigungsphase" berechtigt ist. Berechne die Maximalgeschwindigkeit in \(\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\).

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a) 

Das obige \(t\)-\(s\)-Diagramm zeigt die zurückgelegte Strecke von Johnson (rot) und Lewis (blau) in Abhängigkeit von der Zeit. Da sich die beiden \(t\)-\(s\)-Kurven nicht schneiden, fand kein Überholvorgang statt. Es handelt sich also um einen Start-Ziel-Sieg von Ben Johnson.

b)Beispiele für die Berechnung der mittleren Geschwindigkeit bei Ben Johnson:

Wegstrecke \(0\rm{m}\) bis \(10\rm{m}\): \[\overline {{v_1}}  = \frac{{10,0{\rm{m}} - 0,00{\rm{m}}}}{{1,95{\rm{s}} - 0,00{\rm{s}}}} = 5,13\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\] Diese mittlere Geschwindigkeit tragen wir an für den Zeitpunkt \({\bar t_1} = 0{\rm{s}} + \frac{1}{2} \cdot \left( {1,95{\rm{s}} - 0{\rm{s}}} \right) = 0,975{\rm{s}}\)

Wegstrecke \(10\rm{m}\) bis \(20\rm{m}\): \[\overline {{v_2}}  = \frac{{20,0{\rm{m}} - 10,00{\rm{m}}}}{{2,93{\rm{s}} - 1,95{\rm{s}}}} = 10,2\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\] Diese mittlere Geschwindigkeit tragen wir an für den Zeitpunkt \({\bar t_2} = 1,95{\rm{s}} + \frac{1}{2} \cdot \left( {2,93{\rm{s}} - 1,95{\rm{s}}} \right) = 2,44{\rm{s}}\)

Für Johnson ergibt sich so folgende Tabelle:

"Ort" \(s\) in \(\rm{m}\) \( 0-10\) \( 10-20\) \( 20-30\) \( 30-40\) \( 40-50\) \( 50-60\) \( 60-70\) \( 70-80\) \( 80-90\) \( 90-100\)
\(\bar t\;{\rm{in}}\;{\rm{s}}\) \(0,975\) \(2,44\) \(3,37\) \(4,25\) \(5,12\) \(5,95\) \(6,80\) \(7,64\) \(8,50\) \(9,36\)
\({\bar v}\;{\rm{in}}\;\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) \( 5,13\) \( 10,2\) \( 11,4\) \( 11,4\) \( 12,1\) \( 11,8\) \( 11,8\) \( 11,9\) \( 11,5\) \( 11,6\)

Mit Hilfe der berechneten mittleren Zeiten und Geschwindigkeiten kann man das folgende \(t\)-\(v\)-Diagramm für den Verlauf der Geschwindigkeiten von Johnson (rot) und Lewis (blau) zeichnen.

c)Im Zeitraum zwischen dem Start und der dritten Sekunde nimmt die Geschwindigkeit des Sprinters pro Zeiteinheit rasch zu (steiler Kurvenverlauf). Ab der dritten Sekunde ändert sich die Geschwindigkeit nicht mehr wesentlich (flacher Kurvenverlauf), die Bewegung ist fast gleichförmig.

Im ersten Zeitabschnitt (\(0{\rm{s}} < t < 3{\rm{s}}\)) ist die Beschleunigung maximal, daher der Begriff "Beschleunigungsphase". Zwischen der 3. Sekunde und dem Laufende ist die Beschleunigung nahezu Null.

Die Maximalgeschwindigkeit von beiden Läufern beträgt ca. \(12\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\). Diese entspricht einer Geschwindigkeit von ca. \({\rm{43}}\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\).