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Grundwissen

Auftrieb und Schweredruck

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Theorie

Als Folge des "Gewichtsdruckes" (auch hydrostatischer Druck genannt) von Flüssigkeiten und Gasen erfahren Körper in diesen Flüssigkeiten und Gasen eine Auftriebskraft \(F_A\)

Es gilt

Die Auftriebskraft ist gleich dem Gewicht der verdrängten Flüssigkeit bzw. dem Gewicht des verdrängten Gases.

Herleitung

auftrieb_druck_kraft.svg Joachim Herz Stiftung
Abb. 1/2 Im linken Bild (Abb. 1) sind an den Rändern des Körpers kleine Testflächen markiert und die darauf einwirkenden Druckkräfte durch Pfeile charakterisiert. Im rechten Bild (Abb. 2) sind die von unten wirkenden Teildruckkräfte zu einer Kraft \(\vec {F_u} \) und die von oben wirkenden Teildruckkräfte zu einer Kraft \(\vec{F_o} \) zusammengefasst.

  • Im linken Bild (Abb. 1) sind an den Rändern des Körpers kleine Testflächen markiert und die darauf einwirkenden Druckkräfte durch Pfeile charakterisiert.
  • Man sieht, dass sich die seitlichen Druckkräfte aufheben, dagegen sind die von unten wirkenden Druckkräfte größer als die von oben wirkenden Druckkräfte.
  • Im rechten Bild (Abb. 2) sind die von unten wirkenden Teildruckkräfte zu einer Kraft \(\vec {F_u} \) und die von oben wirkenden Teildruckkräfte zu einer Kraft \(\vec{F_o} \) zusammengefasst.
  • Für den Betrag der Auftriebskraft \(F_A\) gilt:

\[F_A = F_u-F_o\]

  • Der betrachtete Körper soll oben und unten die gleiche Fläche \(A\) haben. An der Oberseite herrsche der Druck \(p_o\), an der Unterseite der Druck \(p_u\). Dann gilt:

\[F_A = p_u \cdot A-p_o \cdot A \]

\[F_A = A \ (p_u-p_o)\]

  • Unter Verwendung der Formel für den Gewichtsdruck \(p = \rho \cdot g \cdot h\) gilt dann (dabei ist ρ die Dichte der Flüssigkeit (Gases), in der(dem) sich der Körper befindet):

\[F_A = A \cdot (\rho  \cdot g \cdot h_u - \rho \cdot g \cdot h_o)\]

\[F_A = A \cdot \rho  \cdot g \cdot (h_u - h_o)\]

\[F_A = A \cdot h \cdot \rho  \cdot g\]

Da aber A · h gerade das Volumen V des Körpers ist, gilt:

\[F_A = \rho  \cdot V \cdot g\]

Das Produkt aus Dichte der Flüssigkeit (des Gases) und des Volumens ergibt aber gerade die Masse der verdrängten Flüssigkeit. Die Multiplikation mit g schließlich die Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit. Somit gilt:

Es gilt

\[F_A = \rho  \cdot V \cdot g\]

oder

\[F_A = F_{g, Flüssigkeit}\; oder \; F_A = F_{g,Gas}\]

Mathematische Hilfen

Um Aufgaben zur Auftriebskraft zu lösen musst du häufig die Gleichung \({F_{\rm{A}}} = \rho \cdot V \cdot g\) nach einer Größe, die unbekannt ist, auflösen. Wie du das machen kannst zeigen wir dir in der folgenden Animation.

Die Gleichung\[\color{Red}{F_{\rm{A}}} = {\rho} \cdot {V} \cdot {g}\]ist bereits nach \(\color{Red}{F_{\rm{A}}}\) aufgelöst. Du brauchst also keine Umformungen durchzuführen.
Um die Gleichung\[{F_{\rm{A}}} = \color{Red}{\rho} \cdot {V} \cdot {g}\]nach \(\color{Red}{\rho}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[ \color{Red}{\rho} \cdot {V} \cdot {g} = {F_{\rm{A}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \( {V} \cdot {g}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \( {V} \cdot {g}\) im Nenner steht.
\[\frac{{ \color{Red}{\rho} \cdot {V} \cdot {g}}}{ {V} \cdot {g}} = \frac{{F_{\rm{A}}}}{ {V} \cdot {g}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \( {V} \cdot {g}\).\[\color{Red}{\rho} = \frac{{F_{\rm{A}}}}{ {V} \cdot {g}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{\rho}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[{F_{\rm{A}}} = {\rho} \cdot \color{Red}{V} \cdot {g}\]nach \(\color{Red}{V}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[ {\rho} \cdot \color{Red}{V} \cdot {g} = {F_{\rm{A}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \( {\rho} \cdot {g}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \( {\rho} \cdot {g}\) im Nenner steht.
\[\frac{{ {\rho} \cdot \color{Red}{V} \cdot {g}}}{ {\rho} \cdot {g}} = \frac{{F_{\rm{A}}}}{ {\rho} \cdot {g}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \( {\rho} \cdot {g}\).\[\color{Red}{V} = \frac{{F_{\rm{A}}}}{ {\rho} \cdot {g}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{V}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[{F_{\rm{A}}} = {\rho} \cdot {V} \cdot \color{Red}{g}\]nach \(\color{Red}{g}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[ {\rho} \cdot {V} \cdot \color{Red}{g} = {F_{\rm{A}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \( {\rho} \cdot {V}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \( {\rho} \cdot {V}\) im Nenner steht.
\[\frac{ {\rho} \cdot {V} \cdot \color{Red}{g}}{ {\rho} \cdot {V}} = \frac{{F_{\rm{A}}}}{ {\rho} \cdot {V}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \( {\rho} \cdot {V}\).\[\color{Red}{g} = \frac{{F_{\rm{A}}}}{ {\rho} \cdot {V}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{g}\) aufgelöst.
Abb. 3 Schrittweises Auflösen der Formel für die Auftriebskraft nach den vier in der Formel auftretenden Größen
Aufgabe

Ein Ballon erfährt leer zusammen mit der Gondel die Gewichtskraft \({G_0} = 12000\rm{N}\). Er wird mit Wasserstoff (\({\rho _{Wa}} = 0,09\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\)) gefüllt. Er hat dann das Volumen \(V = 1600{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\).

  1. Welche Auftriebskraft erfährt der Ballon, wenn die Dichte von Luft \({\rho _{Lu}} = 1,29\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\) ist?
  2. Mit welcher Steigkraft hebt der Ballon ab?
  3. Warum nimmt mit wachsender Höhe die Steigkraft immer mehr ab?

Lösung

  1. \[{F_A} = V \cdot {\rho _{Lu}} \cdot g \Rightarrow {F_A} = 1600{{\rm{m}}^{\rm{3}}} \cdot 1,29\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} \cdot 10\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}} \approx 21000{\rm{N}}\]
  2. Die Steigkraft ist die Aufriebskraft, vermindert um Summe der Gewichtskräfte von Ballon und Wasserstofffüllung. Für die Gewichtskraft der Wasserstofffüllung gilt
    \[{F_{Wa}} = 0,09\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} \cdot 1600{{\rm{m}}^{\rm{3}}} \cdot 10\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}} \approx 1400{\rm{N}}\]
    Somit ergibt sich für die Steigkraft
    \[{F_{St}} = {F_A} - \left( {{G_0} + {F_{Wa}}} \right) = 21000{\rm{N}} - \left( {12000{\rm{N}} + 1400{\rm{N}}} \right) = 7600{\rm{N}}\]
  3. Mit zunehmender Höhe nimmt die Luftdichte ab. Damit nimmt auch \({F_A}\) und die Steigkraft ab.
Aufgabe

Ein Salzbrocken erfährt in Luft die Gewichtskraft  \(0,66{\rm{N}}\). Sein scheinbares Gewicht in Spiritus ist \(0,42{\rm{N}}\) (\({\rho _{Sp}} = 0,80\frac{{\rm{g}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\)).

  1. Berechne die Dichte des Salzbrockens.
  2. Warum wird der Versuch mit Spiritus und nicht mit Wasser ausgeführt?

Lösung

  1. Zuerst berechnen wir die Masse \(m_{Sa}\) des Salzbrockens:
    \[F_{g,Sa} = m_{Sa} \cdot g \Leftrightarrow m_{Sa} = \frac{F_{g,Sa}}{g} \Rightarrow m_{Sa} = \frac{{0,66{\rm{N}}}}{{9,81\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}}}} \approx 0,067{\rm{kg}}\]
    Dann berechnen wir die Auftriebskraft \(F_A\) des Salzbrockens:
    \[{F_A} = 0,66\rm{N} - 0,42\rm{N} = 0,24\rm{N}\]
    Da die Auftriebskraft \(F_A\) des Salzbrockens gleich der Gewichtskraft \(F_{g,Sp}\) der verdrängten Flüssigkeit Spiritus ist, gilt dann:
    \[F_{g,Sp}=0,24\rm{N}\]
    Hiermit berechnen wir die Masse \(m_{Sp}\) der verdrängten Flüssigkeit Spiritus
    \[{F_{g,Sp}} = {m_{Sp}} \cdot g \Leftrightarrow {m_{Sp}} = \frac{{{F_{g,Sp}}}}{g} \Rightarrow {m_{Sp}} = \frac{{0,24{\rm{N}}}}{{9,81\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}}}} \approx 0,024{\rm{kg}}\]
    und damit das Volumen \(V_{Sp}\) der verdrängten Flüssigkeit Spiritus:
    \[{m_{Sp}} = {\rho _{Sp}} \cdot {V_{Sp}} \Leftrightarrow {V_{Sp}} = \frac{{{m_{Sp}}}}{{{\rho _{Sp}}}} \Rightarrow {V_{Sp}} = \frac{{24g}}{{0,80\frac{{\rm{g}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}}} = 30{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\]
    Das Volumen \(V_{Sp}\) des verdrängten Spiritus ist gleich dem Volumen \(V_{Sa}\) des Salzbrockens. Somit gilt für die Dichte des Salzbrockens:
    \[{m_{Sa}} = {\rho _{Sa}} \cdot {V_{Sa}} \Leftrightarrow {\rho _{Sa}} = \frac{{{m_{Sa}}}}{{{V_{Sa}}}} \Rightarrow {\rho _{Sa}} = \frac{{67{\rm{g}}}}{{30{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} \approx 2,2\frac{{\rm{g}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\]
  2. Das Salz würde sich im Wasser auflösen.