Eine elastische Schraubenfeder mit der Härte \(D=5,8\cdot 10^2\,\rm{\frac{N}{m}}\) wird durch einen Aluminiumzylinder um die Strecke \(\Delta x=7\,\rm{cm}\) gedehnt (Versuch 1).
a)
Um welche Strecke \(\Delta x_w\) wird die Feder gedehnt, wenn man den Aluminiumzylinder ganz in Wasser taucht (Versuch 2)? Die Erdbeschleunigung sei \(g_{\rm{Erde}}=10\,\rm{\frac{m}{s^2}}\).
b)
Um welche Strecke \(\Delta x'\) würde die Feder bei Versuch 1 gedehnt, wenn man ihn auf dem Mond durchführen würde?
c)
Wie groß wäre die Dehnung \(\Delta x'_w\) bei Versuch 2 auf dem Mond?
Hinweis: Besorge dir die notwendigen Daten aus entsprechenden Tabellen im Buch oder Internet.
Zunächst bestimmst du die Gewichtskraft des Aluminiumkörpers Fg,al: \[{F_{g,al}} = D \cdot \Delta x \Rightarrow {F_{g,al}} = 5,8 \cdot {10^2}\,\rm{\frac{N}{m}} \cdot 7 \cdot {10^{ - 2}}\,\rm{m} = 41\,\rm{N}\]
Hinweis: Eigentlich ist die oben berechnete Kraft nicht genau die Gewichtskraft, da noch eine geringfügige Auftriebskraft des Alu-Zylinders in der Luft zu berücksichtigen wäre. Diese Auftriebskraft ist aber so klein, dass wir sie vernachlässigen.
Mithilfe der Gewichtskraft kannst du nun die Masse des Aluminiumkörpers mal berechnen:\[\begin{array}{l}{F_{g,al}} = {m_{al}} \cdot {g_{er}} \Rightarrow {m_{al}} = \frac{{{F_{g,al}}}}{{{g_{er}}}} \\ \Rightarrow {m_{al}} = \frac{{41\,\rm{N} \cdot \rm{s^2}}}{{10\,\rm{m}}} = 4{,}1\,\rm{kg}\end{array}\]Hieraus bestimmst du das Volumen des Aluminiumkörpers Val: \[\begin{array}{l}{m_{al}} = {\rho _{al}} \cdot {V_{al}} \Rightarrow {V_{al}} = \frac{{{m_{al}}}}{{{\rho _{al}}}} \\ \Rightarrow {V_{al}} = \frac{{4{,}1\,\rm{kg} \cdot \rm{m^3}}}{{2{,}7 \cdot {{10}^3}\,\rm{kg}}} = 1{,}5 \cdot {10^{ - 3}}\,\rm{m^3}\end{array}\] Mithilfe des Volumens kannst du die Auftriebskraft Fauf in Wasser berechnen: \[\begin{array}{l}{F_{auf}} = {\rho _{w}} \cdot {V_{al}} \cdot {g_{er}} \\ \Rightarrow {F_{auf}} = 1{,}0 \cdot {10^3} \cdot 1{,}5 \cdot {10^{ - 3}} \cdot 10\rm{\frac{{kg \cdot {m^3} \cdot m}}{{{m^3} \cdot {s^2}}}} = 15\,\rm{N}\end{array}\] Somit ergibt sich eine Belastung der Feder von: \[{F_{f,w}} = {F_{g,al}} - {F_{auf}} \Rightarrow {F_{f,w}} = 41\,\rm{N} - 15\,\rm{N} = 26\,\rm{N}\] Nun kannst du die gesuchte Federdehnung \(\Delta x_w\) berechnen: \[\Delta {x_w} = \frac{{{F_{f,w}}}}{D} \Rightarrow \Delta {x_w} = \frac{{26\,\rm{N} \cdot \rm{m}}}{{5{,}8 \cdot {{10}^2}\,\rm{N}}} = 45\,\rm{mm}\]
b)
Auf dem Mond bleiben die Federhärte, die Masse des Al-Zylinders und die Dichtewerte erhalten, jedoch ist der Ortsfaktor auf dem Mond nur der sechste Teil vom Ortsfaktor auf der Erde: \[{g_{mo}} = \frac{1}{6}{g_{er}} \Rightarrow {g_{mo}} = 1{,}7\,\rm{\frac{m}{s^2}}\]Die Größen auf dem Mond werden in der folgenden Rechnung mit einem Strich versehen. Gewicht des Aluminiumzylinders auf dem Mond Fg,al':
Die Gewichtskraft auf dem Mond ist ein Sechstel der Gewichtskraft auf der Erde:\[{F'_{g,al}} = \frac{1}{6}{F_{g,al}} = \frac{1}{6} \cdot 41\,\rm{N} \approx 7{,}0\,\rm{N}\]
c)
Für die Federdehnung auf dem Mond (außerhalb des Wassers) \(\Delta x'\) gilt\[\Delta x' = \frac{{{{F'}_{g,al}}}}{D} \Rightarrow \Delta x' = \frac{{7{,}0}}{{5{,}8 \cdot {{10}^2}}}\,\rm{m} = 12\,\rm{mm}\]
Schneller: Die Federdehnung ist 1/6 der Federdehnung auf der Erde: \[\Delta x'=\frac{1}{6}\cdot \Delta x=\frac{70\,\rm{mm}}{6}\approx 12\,\rm{mm}\]Für die Auftriebskraft Fauf' auf dem Mond gilt: \[{F'_{auf}} = {\rho _w} \cdot {V_{al}} \cdot {g_{mo}} \Rightarrow {F'_{auf}} = 1{,}0 \cdot {10^3} \cdot 1{,}5 \cdot {10^{ - 3}} \cdot 1{,}7\,\rm{N} = 2{,}6\,\rm{N}\]Die Feder wird mit Ff,w' = Fg,al' - Fauf' belastet: Ff,w' = 7,0 N - 2,6 N = 4,4 N
Die Dehnung der Feder auf dem Mond (Zylinder ganz im Wasser) Δxw': \[\Delta {x'_w} = \frac{{{{F'}_{f,w}}}}{D} \Rightarrow \Delta {x'_w} = \frac{4{,}4}{{5{,}8 \cdot {{10}^2}}}\,\rm{m} = 7{,}6\,\rm{mm}\] Auch hier wäre die schnelle Lösung einfach ein Sechstel der Federdehnung auf der Erde zu nehmen: \[\Delta x'_w=\frac{\Delta x_w}{6}=\frac{45\,\rm{mm}}{6} = 7{,}5\,\rm{mm}\]
