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Aufgabe

Holzfloß

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Ludwig Gruber (Lou Gruber) / Public domain
Abb. 1 Floß auf der Isar

Ein beladenes Holzfloß hat eine Fläche von \(80\,\rm{m^2}\) und ist \(20\,{\rm{cm}}\) dick. Die Dichte des Holzes beträgt \(0{,}6\rm{\frac{g}{cm^3}}\). Beim Schwimmen ragt das Floß \(2{,}0\,{\rm{cm}}\) aus dem Wasser.

Berechne die Masse, die das Floß trägt.

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Bedingung für das Schwimmen des Floßes ist, dass (betraglich) die Auftriebskraft gleich der Summe von Gewichtskraft der Plattform und Gewichtskraft der Ladung ist. Es muss also gelten\[{F_{\rm{A}}} = {F_{{\rm{G,Plattform}}}} + {F_{{\rm{G,Ladung}}}} \Leftrightarrow {F_{{\rm{G,Ladung}}}} = {F_{\rm{A}}} - {F_{{\rm{G,Plattform}}}}\]Nun ist \({F_{{\rm{G,Ladung}}}} = {m_{{\rm{Ladung}}}} \cdot g\), \({F_{{\rm{G,Plattform}}}} = {V_{{\rm{Plattform}}}} \cdot {\rho _{{\rm{Holz}}}} \cdot g\) und \({F_{\rm{A}}} = {V_{{\rm{verdrängtes Wasser}}}} \cdot {\rho _{{\rm{Wasser}}}} \cdot g\). Man erhält somit\[\begin{eqnarray}{m_{{\rm{Ladung}}}} \cdot g &=& {V_{{\rm{verdrängtes Wasser}}}} \cdot {\rho _{{\rm{Wasser}}}} \cdot g - {V_{{\rm{Plattform}}}} \cdot {\rho _{{\rm{Holz}}}} \cdot g\;\;\;|:g\\{m_{{\rm{Ladung}}}} &=& {V_{{\rm{verdrängtes Wasser}}}} \cdot {\rho _{{\rm{Wasser}}}} - {V_{{\rm{Plattform}}}} \cdot {\rho _{{\rm{Holz}}}}\end{eqnarray}\]Mit einem verdrängten Wasservolumen von\[{V_{{\rm{verdrängtes Wasser}}}} = A \cdot h_{\rm{verdrängtes Wasser}} \Rightarrow V_{{\rm{verdrängtes Wasser}}} = 80{{\rm{m}}^2} \cdot \left( {0,20{\rm{m}} - 0,02{\rm{m}}} \right) = 14,4{{\rm{m}}^3}\] und einem Volumen der Plattform von\[{V_{{\rm{Plattform}}}} = A \cdot {h_{{\rm{Plattform}}}} \Rightarrow {V_{{\rm{Plattform}}}} = 80{{\rm{m}}^2} \cdot 0,20{\rm{m}} = 16{{\rm{m}}^3}\]erhält man schließlich\[{m_{{\rm{Ladung}}}} = 14,4{{\rm{m}}^3} \cdot 1000\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^3}}} - 16{{\rm{m}}^3} \cdot 600\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^3}}} = 4800{\rm{kg}}\]Die maximale Ladungsbelastung des Floßes beträgt somit \(4,8\rm{t}\).

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Druck und Auftrieb