Hinweis: Diese Aufgabe wurde den Aufgaben zu den Bildungsstandards der KMK-Konferenz entnommen.
Joachim Herz Stiftung
Abb. 1 Diagramm
Fahrten mit Heißluftballons werden immer beliebter. Mit einem Gasbrenner wird die Luft im Inneren des Ballons erhitzt. Das Diagramm zeigt den Zusammenhang zwischen der Dichte und der Temperatur der Luft bei konstantem Druck.
Erkläre die Lage der Messpunkte im Diagramm mit der Bewegung der Teilchen.
b)
Warum schwebt der Heißluftballon? Begründe deine Antwort mithilfe des Diagramms.
c)
Der abgebildete Heißluftballon habe ein Volumen von 1600 m³. Die Luft im Inneren des Ballons hat eine Temperatur von 100 °C. Die Luft, in der der Ballon schwebt, hat eine Temperatur von 0 °C. Hülle, Korb und weitere Ausrüstungen wiegen zusammen etwa 340 kg.
Welche Masse hat die Luft im Inneren?
Welche Masse hat die vom Ballon verdrängte Außenluft von 0 °C?
Können 5 Personen von je 75 kg gleichzeitig mit dem Ballon fahren?
Jede Temperaturerhöhung führt zu einer Zunahme der mittleren Geschwindigkeit der Gasteilchen und somit zu einer Vergrößerung des mittleren Abstandes zwischen ihnen. Das Volumen wird bei gleichbleibender Masse größer, wodurch die Dichte abnimmt.
b)
Die Luft im Ballon hat durch ihre höhere Temperatur eine kleinere Dichte als die Luft, die den Ballon umgibt. Der Ballon (+ Anhang) schwebt, wenn er genauso schwer ist wie die von ihm verdrängte Luft. Deshalb muss aus seinem Inneren durch die Erwärmung so viel Luft verdrängt werden, bis die Masse dieser Luft der von Hülle, Korb und Beladung des Heißluftballons entspricht.
c)
Die Dichte der kalten Luft der Umgebung (0°C) ist \(\rho_{kl}=1{,}4\,\rm{\frac{kg}{m^3}}\). Somit gilt für die Masse dieser Luft: \[{m_{kl}} = {\rho _{kl}} \cdot V \Rightarrow {m_{kl}} = 1{,}4\,\rm{\frac{kg}{m^3}} \cdot 1600\,\rm{m^3} = 2{,}2 \cdot {10^3}\,\rm{kg}\]
Die Dichte der heißen Luft im Ballon (100°C) ist \(\rho_{hl}=1{,}0\,\rm{\frac{kg}{m^3}}\).. Somit gilt für die Masse dieser Luft: \[m_{hl}=1{,}0\rm{\frac{kg}{m^3}}\cdot 1600\,\rm{m^3}=1{,}6\cdot 10^3\,\rm{kg}\]
Somit muss die Auftriebskraft, welche durch das Verdrängen des Volumens der kalten Luft entsteht, das Gewicht der Insassen, der Hülle, Korb und Ausrüstung und die Luft im Ballon tragen. Es gilt
\[ F_A = g\cdot \rho_{kl}\cdot V\]
Die Auftriebskraft muss dabei die gesamte Gewichtskraft kompensieren
\[F_G = (m_{Ausrüstung} + m_{hl} + m_{Passagiere})\cdot g \]
Setze beide diese Kräfte gleich, so folgt
\[\begin{eqnarray} (m_{Ausrüstung} + m_{hl} + m_{Passagiere})\cdot g &=& g\cdot \rho_{kl}\cdot V \\ m_{Passagiere} &=& \rho_{kl}\cdot V - m_{Ausrüstung} - m_{hl}\end{eqnarray}\]
Mit \(m_{Ausrüstung} = 340\,\rm{kg}\), \(V = 1600\,\rm{m^3}\), \(m_{hl} = 1600\,\rm{kg}\) und \(\rho_{kl} = 1{,}4\,\rm{\frac{kg}{m^3}}\) folgt
