Eine quadratische Steinplatte von der Kantenlänge \(40\,\rm{cm}\) und der Dicke \(5{,}0\,\rm{cm}\) wird auf zwei unterschiedliche Arten unter Wasser festgehalten.
Fall a): So, dass sich die obere der quadratischen Flächen parallel zum Wasserspiegel in einer Tiefe von \(10\,\rm{cm}\) befindet.
Fall b): So, dass sich die obere der schmalen Seitenflächen parallel zum Wasserspiegel in einer Tiefe von \(10\,\rm{cm}\) befindet.
a)
Berechne in beiden Lagen den Schweredruck sowie die Kräfte, welche an den beiden zum Wasserspiegel parallelen Flächen der Platte auftreten.
b)
Zeige, dass dadurch der Satz von ARCHIMEDES bestätigt wird.
Fall a): Der Druck von oben beträgt: \[p_o=\rho_{\rm{W}}\cdot g \cdot 10\,\rm{cm}\] Für die Kraft von oben gilt: \[F_o=\rho_{\rm{W}}\cdot g \cdot 10\,\rm{cm}\cdot\left(40\,\rm{cm}\right)^2\] Der Druck von unten beträgt: \[p_u=\rho_{\rm{W}}\cdot g \cdot 15\,\rm{cm}\] Für die Kraft von unten gilt: \[F_u=\rho_{\rm{W}}\cdot g \cdot 15\,\rm{cm}\cdot\left(40\,\rm{cm}\right)^2\] Damit folgt für die Auftriebskraft \(F_A=F_u-F_o\): \[F_A=\rho_{\rm{W}}\cdot g \cdot 15\,\rm{cm}\cdot\left(40\,\rm{cm}\right)^2-\rho_{\rm{W}}\cdot g \cdot 10\,\rm{cm}\cdot\left(40\,\rm{cm}\right)^2=\rho_{\rm{W}}\cdot g \cdot 5\,\rm{cm}\cdot\left(40\,\rm{cm}\right)^2\]
Joachim Herz Stiftung
Abb. 3 Lösung für Fall b)
Fall b): Der Druck von oben beträgt: \[p_o=\rho_{\rm{W}}\cdot g \cdot 10\,\rm{cm}\] Für die Kraft von oben gilt: \[F_o=\rho_{\rm{W}}\cdot g \cdot 10\,\rm{cm}\cdot 5\,\rm{cm}\cdot 40\,\rm{cm}\] Der Druck von unten beträgt: \[p_u=\rho_{\rm{W}}\cdot g \cdot 50\,\rm{cm}\] Für die Kraft von unten gilt: \[F_u=\rho_{\rm{W}}\cdot g \cdot 50\,\rm{cm}\cdot 5\,\rm{cm}\cdot 40\,\rm{cm}\] Damit folgt für die Auftriebskraft \(F_A=F_u-F_o\): \[F_A=\rho_{\rm{W}}\cdot g \cdot 50\,\rm{cm}\cdot 5\,\rm{cm}\cdot 40\,\rm{cm}-\rho_{\rm{W}}\cdot g \cdot 10\,\rm{cm}\cdot 5\,\rm{cm}\cdot 40\,\rm{cm}=\rho_{\rm{W}}\cdot g \cdot 5\,\rm{cm}\cdot\left(40\,\rm{cm}\right)^2\]
b)
Die Ergebnisse für beide Fälle sind gleich: Der Satz des Archimedes, dass der Auftrieb genau so groß ist wie die Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit stimmt.
