Druck und Auftrieb

Allgemeine Lösung:

• Nach Archimedes ist die Auftriebskraft gleich dem Gewicht der verdrängten Flüssigkeit. Man könnte auch sagen, dass die Masse des verdrängten Wassers (m_w,v), gleich der Masse eines Eisberges (m_e) ist.

m_e = m_w,v (1)

• Bei der Umwandlung von Eis in Schmelzwasser (Masse m_w,s) ändert sich die Masse nicht. m_e = m_w,s (2)
• Aus (1) und (2) folgt: m_w,s = m_w,v

• Wenn das Schmelzwasser und das verdrängte Wasser die gleiche Dichte haben (ist das immer so?), dann gilt auch V_w,s = V_w,v d.h. der Wasserspiegel steigt nicht an.

Joachim Herz Stiftung

Rechnerische Lösung:
Zur Vereinfachung werde ein Eiswürfel mit der Kantenlänge 1m angenommen.

• Masse des Eisblockes:

  \(\begin{array}{l}{m_e} = {V_e} \cdot {\rho _e} \Rightarrow \\{m_e} = 1{,}00\,\rm{m^3} \cdot 0{,}92 \cdot {10^3}\,\rm{\frac{kg}{m^3}} = 9{,}2 \cdot {10^2}\,\rm{kg}\end{array}\)

• Eintauchtiefe h des Eisblockes

  \(\begin{array}{l}{F_{g,wv}} = {F_{g,ws}} \Rightarrow {\rho _w} \cdot {V_{ws}} \cdot g = {\rho _e} \cdot {V_e} \cdot g|:g\\{\rho _w} \cdot {V_{ws}} = {\rho _e} \cdot {V_e} \Rightarrow {\rho _w} \cdot h \cdot {a^2} = {\rho _e} \cdot {a^3} \\ \Rightarrow h = \frac{{{\rho _e}}}{{{\rho _w}}} \cdot a \Rightarrow h = \frac{{0,92}}{{1,03}} \cdot 1\,\rm{m} = 0{,}89\,\rm{m}\end{array}\)

• Volumen des verdrängten Wassers:

  \({V_{wv}} = h \cdot {a^2} \Rightarrow {V_{wv}} = 0{,}89\,\rm{m^3}\)

• Volumen des geschmolzenen Eises:

  \({V_{ws}} = \frac{{{m_e}}}{{{\rho _w}}} \Rightarrow {V_{ws}} = \frac{{9,2 \cdot {{10}^2}}}{{1,03 \cdot {{10}^3}}}\,\rm{m^3} = 0{,}89\,\rm{m^3}\)

Aus der Gleichheit von V_w,s und V_w,v folgt, dass der Wasserspiegel nicht steigt.

Modellexperiment:
In ein gefülltes Wasserbecken werden so viele Eiswürfel gegeben, bis das Becken randvoll ist. Während des Schmelzvorganges des Eises läuft kein Wasser aus dem Becken.