Auftrieb und Luftdruck

Mechanik

Auftrieb und Luftdruck

  • Warum schwimmen manche Körper im Wasser und andere nicht?
  • Wie stark ist eigentlich der Luftdruck?
  • Warum wird auf Bergen die Luft immer dünner?

In den folgenden Bildern siehst du Objekte, die sich in einem Medium (z.B. Luft oder Wasser) befinden. Auf all diese Objekte wirkt neben der Gewichtskraft noch eine weitere Kraft, die Auftriebskraft. An dieser Stelle können wir nicht ganz genau klären, welche Ursache die Auftriebskraft hat, aber offensichtlich hängt sie u.a. mit dem Medium zusammen, in dem sich ein Körper befindet und vom Volumen der Flüssigkeit (des Gases), welche(s) der in das Medium eintauchende Körper verdrängt.

Bungee Jumping

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Bungee Jumpig von einem Kran
holdosi

Heissluftballon

Heissluftballon
Heisluftballon während der Fahrt
AmberAvalona

Schiffswrack

Schiffswrack
Ein Schiff im Hafen
Bernhard_Staerck

Taucher

Taucher
Taucher unter Wasser
OCVS

Floss

Floss
Floss auf dem Wasser
judithscharnowski
VK
ρMedium
FHR
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7 Abhängigkeit der Auftriebskraft von der Dichte des Mediums, in dem sich der Körper befindet und dem Volumen des Körpers (und damit dem Volumen von verdrängtem Medium)

Die Animation zeigt einen Körper (die grüne Kugel), der sich in einem Medium (hellblau) wie z.B. Luft, Wasser oder Öl befindet. Du kannst sowohl die Dichte \({\rho _{{\rm{Medium}}}}\) des Mediums als auch das Volumen \({V_{\rm{K}}}\) des Körpers in gewissen Grenzen verändern und dabei die Richtung und den Betrag der Auftriebskraft \({{\vec F}_{\rm{A}}}\) beobachten.

Wie du siehst steigt der Betrag der Auftriebskraft sowohl mit der Dichte \({\rho _{{\rm{Medium}}}}\) des Mediums als auch mit dem Volumen \({V_{\rm{K}}}\) des Körpers. Aus dem Zusammenhang \(m = \rho  \cdot V\) zwischen Masse, Volumen und Dichte weist du, dass das Produkt \({\rho _{{\rm{Medium}}}} \cdot {V_{\rm{K}}}\) gerade die Masse der Menge an Medium ist, die von dem Körper "verdrängt" wird. Theoretische Überlegungen zeigen, dass der Betrag der Auftriebskraft genau der Betrag \(F_{\rm{G}}\) der Gewichtskraft der verdrängten Menge an Medium ist. Damit hat auch der Ortsfaktor \(g\) einen Einfluss auf die Auftriebskraft.

Gesetz des Archimedes

Portrait ARCHIMEDES (um 287 v. Chr. - 212 v. Chr.)
Abb.
8
ARCHIMEDES (um 287 v. Chr. - 212 v. Chr.)
unbekannter Autor

ARCHIMEDES von Syracus soll der Erste gewesen sein, der erkannt hat, wie groß die Auftriebskraft ist:

Gesetz des Archimedes (sprachlich)

Der Betrag der Auftriebskraft ist gleich dem Betrag der Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit bzw. des verdrängten Gases.

Der Betrag \({F_{\rm{A}}}\) der Auftriebskraft eines Körpers in einem Medium ist also gleich dem Betrag \({F_{\rm{G,Medium}}}\) der Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit oder des verdrängten Gases; diese wiederum lässt sich aus der Dichte \({\rho _{{\rm{Medium}}}}\) des Mediums, dem Volumen \({V_{\rm{K}}}\) des in das Medium eingetauchten Körpers und dem Ortsfaktor \(g\) berechnen. Es gilt also:

Gesetz des Archimedes (formal)

\[{F_{\rm{A}}} = {F_{{\rm{G}}{\rm{,Medium}}}} = {\rho _{{\rm{Medium}}}} \cdot {V_{\rm{K}}} \cdot g\]

Die Auftriebskraft wächst also mit dem Volumen des Körpers und der Dichte des Mediums.

Sieht man von Reibungskräften ab, so kann man verschiedene Situationen unterscheiden, die sich durch das Zusammenspiel von Gewichtskraft \({\vec F_{\rm{G}}}\) eines Körpers und der Auftriebskraft \({\vec F_{\rm{A}}}\) in einem Medium ergeben:

Sinken: Ist der Betrag \({F_{\rm{A}}}\) der Auftriebskraft kleiner als der Betrag \({F_{\rm{G}}}\) der Gewichtskraft (\({F_{\rm{A}}} < {F_{\rm{G}}}\)), dann ist die resultierende Kraft nach unten gerichtet und der Körper sinkt.

Schweben: Sind die Beträge \({F_{\rm{A}}}\) der Auftriebskraft und \({F_{\rm{G}}}\) der Gewichtskraft gleich (\({F_{\rm{A}}} = {F_{\rm{G}}}\)), dann ist die resultierende Kraft Null und der Körper schwebt.

Steigen: Ist der Betrag \({F_{\rm{A}}}\) der Auftriebskraft größer als der Betrag \({F_{\rm{G}}}\) der Gewichtskraft (\({F_{\rm{A}}} > {F_{\rm{G}}}\)), dann ist die resultierende Kraft nach oben gerichtet und der Körper steigt.

Schwimmen: Im Fall des Schwimmens gilt bei ganz eingetauchtem Körper (\({F_{\rm{A}}} > {F_{\rm{G}}}\)), so dass der Körper steigt. Ist das Medium (meist eine Flüssigkeit) nach oben begrenzt, so taucht der Körper auf, verdrängt also nicht mehr soviel Flüssigkeit wie beim kompletten Eintauchen, was zu einer Abnahme der Auftriebskraft führt. Der Körper taucht soweit auf, bis \({F_{\rm{A}}} = {F_{\rm{G}}}\) gilt.

Hinweis: Es ist unbedingt zu unterscheiden zwischen den Beträgen von Gewichtskraft \({F_{\rm{G,Medium}}}\) des verdrängten Mediums und der Gewichtskraft \({F_{\rm{G}}}\) des Körpers.

Die folgende Animation verdeutlicht diese vier Situationen.

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9 Mögliche Situationen beim Zusammenwirken von Gewichtskraft und Auftriebskraft auf einen Körper
Verständnisaufgabe

Überlege dir, welcher der Zustände (Sinken, Schweben, Steigen oder Schwimmen) bei den sechs Bildern am Seitenanfang vorliegt.

Lösung
  • Der Bungee-Springer sinkt im Medium Luft.

  • Der Heißluftballon schwebt im Medium Luft (wenn er auf gleicher Höhe bleibt).

  • Die Luftballons steigen im Medium Luft.

  • Das Schiff sinkt im Medium Wasser.

  • Der Taucher schwebt im Medium Wasser.

  • Das Floß schwimmt im Medium Wasser.

Theorie

Als Folge des "Gewichtsdruckes" (auch hydrostatischer Druck genannt) von Flüssigkeiten und Gasen erfahren Körper in diesen Flüssigkeiten und Gasen eine Auftriebskraft \(F_A\)

Es gilt

Die Auftriebskraft ist gleich dem Gewicht der verdrängten Flüssigkeit bzw. dem Gewicht des verdrängten Gases.

Herleitung

Auftrieb Druck Kraft
Abb.
1/2
Im linken Bild (Abb. 1) sind an den Rändern des Körpers kleine Testflächen markiert und die darauf einwirkenden Druckkräfte durch Pfeile charakterisiert. Im rechten Bild (Abb. 2) sind die von unten wirkenden Teildruckkräfte zu einer Kraft \(\vec {F_u} \) und die von oben wirkenden Teildruckkräfte zu einer Kraft \(\vec{F_o} \) zusammengefasst.

  • Im linken Bild (Abb. 1) sind an den Rändern des Körpers kleine Testflächen markiert und die darauf einwirkenden Druckkräfte durch Pfeile charakterisiert.
  • Man sieht, dass sich die seitlichen Druckkräfte aufheben, dagegen sind die von unten wirkenden Druckkräfte größer als die von oben wirkenden Druckkräfte.
  • Im rechten Bild (Abb. 2) sind die von unten wirkenden Teildruckkräfte zu einer Kraft \(\vec {F_u} \) und die von oben wirkenden Teildruckkräfte zu einer Kraft \(\vec{F_o} \) zusammengefasst.
  • Für den Betrag der Auftriebskraft \(F_A\) gilt:

\[F_A = F_u-F_o\]

  • Der betrachtete Körper soll oben und unten die gleiche Fläche \(A\) haben. An der Oberseite herrsche der Druck \(p_o\), an der Unterseite der Druck \(p_u\). Dann gilt:

\[F_A = p_u \cdot A-p_o \cdot A \]

\[F_A = A \ (p_u-p_o)\]

  • Unter Verwendung der Formel für den Gewichtsdruck \(p = \rho \cdot g \cdot h\) gilt dann (dabei ist ρ die Dichte der Flüssigkeit (Gases), in der(dem) sich der Körper befindet):

\[F_A = A \cdot (\rho  \cdot g \cdot h_u - \rho \cdot g \cdot h_o)\]

\[F_A = A \cdot \rho  \cdot g \cdot (h_u - h_o)\]

\[F_A = A \cdot h \cdot \rho  \cdot g\]

Da aber A · h gerade das Volumen V des Körpers ist, gilt:

\[F_A = \rho  \cdot V \cdot g\]

Das Produkt aus Dichte der Flüssigkeit (des Gases) und des Volumens ergibt aber gerade die Masse der verdrängten Flüssigkeit. Die Multiplikation mit g schließlich die Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit. Somit gilt:

Es gilt

\[F_A = \rho  \cdot V \cdot g\]

oder

\[F_A = F_{g, Flüssigkeit}\; oder \; F_A = F_{g,Gas}\]

Mathematische Hilfen

Um Aufgaben zur Auftriebskraft zu lösen musst du häufig die Gleichung \({F_{\rm{A}}} = \rho \cdot V \cdot g\) nach einer Größe, die unbekannt ist, auflösen. Wie du das machen kannst zeigen wir dir in der folgenden Animation.

Die Gleichung\[\color{Red}{F_{\rm{A}}} = {\rho} \cdot {V} \cdot {g}\]ist bereits nach \(\color{Red}{F_{\rm{A}}}\) aufgelöst. Du brauchst also keine Umformungen durchzuführen.
Um die Gleichung\[{F_{\rm{A}}} = \color{Red}{\rho} \cdot {V} \cdot {g}\]nach \(\color{Red}{\rho}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[ \color{Red}{\rho} \cdot {V} \cdot {g} = {F_{\rm{A}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \( {V} \cdot {g}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \( {V} \cdot {g}\) im Nenner steht.
\[\frac{{ \color{Red}{\rho} \cdot {V} \cdot {g}}}{ {V} \cdot {g}} = \frac{{F_{\rm{A}}}}{ {V} \cdot {g}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \( {V} \cdot {g}\).\[\color{Red}{\rho} = \frac{{F_{\rm{A}}}}{ {V} \cdot {g}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{\rho}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[{F_{\rm{A}}} = {\rho} \cdot \color{Red}{V} \cdot {g}\]nach \(\color{Red}{V}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[ {\rho} \cdot \color{Red}{V} \cdot {g} = {F_{\rm{A}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \( {\rho} \cdot {g}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \( {\rho} \cdot {g}\) im Nenner steht.
\[\frac{{ {\rho} \cdot \color{Red}{V} \cdot {g}}}{ {\rho} \cdot {g}} = \frac{{F_{\rm{A}}}}{ {\rho} \cdot {g}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \( {\rho} \cdot {g}\).\[\color{Red}{V} = \frac{{F_{\rm{A}}}}{ {\rho} \cdot {g}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{V}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[{F_{\rm{A}}} = {\rho} \cdot {V} \cdot \color{Red}{g}\]nach \(\color{Red}{g}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[ {\rho} \cdot {V} \cdot \color{Red}{g} = {F_{\rm{A}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \( {\rho} \cdot {V}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \( {\rho} \cdot {V}\) im Nenner steht.
\[\frac{ {\rho} \cdot {V} \cdot \color{Red}{g}}{ {\rho} \cdot {V}} = \frac{{F_{\rm{A}}}}{ {\rho} \cdot {V}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \( {\rho} \cdot {V}\).\[\color{Red}{g} = \frac{{F_{\rm{A}}}}{ {\rho} \cdot {V}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{g}\) aufgelöst.
3 Schrittweises Auflösen der Formel für die Auftriebskraft nach den vier in der Formel auftretenden Größen
Verständnisaufgabe

Ein Ballon erfährt leer zusammen mit der Gondel die Gewichtskraft \({G_0} = 12000\rm{N}\). Er wird mit Wasserstoff (\({\rho _{Wa}} = 0,09\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\)) gefüllt. Er hat dann das Volumen \(V = 1600{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\).

  1. Welche Auftriebskraft erfährt der Ballon, wenn die Dichte von Luft \({\rho _{Lu}} = 1,29\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\) ist?
  2. Mit welcher Steigkraft hebt der Ballon ab?
  3. Warum nimmt mit wachsender Höhe die Steigkraft immer mehr ab?
Lösung
  1. \[{F_A} = V \cdot {\rho _{Lu}} \cdot g \Rightarrow {F_A} = 1600{{\rm{m}}^{\rm{3}}} \cdot 1,29\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} \cdot 10\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}} \approx 21000{\rm{N}}\]
  2. Die Steigkraft ist die Aufriebskraft, vermindert um Summe der Gewichtskräfte von Ballon und Wasserstofffüllung. Für die Gewichtskraft der Wasserstofffüllung gilt
    \[{F_{Wa}} = 0,09\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} \cdot 1600{{\rm{m}}^{\rm{3}}} \cdot 10\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}} \approx 1400{\rm{N}}\]
    Somit ergibt sich für die Steigkraft
    \[{F_{St}} = {F_A} - \left( {{G_0} + {F_{Wa}}} \right) = 21000{\rm{N}} - \left( {12000{\rm{N}} + 1400{\rm{N}}} \right) = 7600{\rm{N}}\]
  3. Mit zunehmender Höhe nimmt die Luftdichte ab. Damit nimmt auch \({F_A}\) und die Steigkraft ab.
Verständnisaufgabe

Ein Salzbrocken erfährt in Luft die Gewichtskraft  \(0,66{\rm{N}}\). Sein scheinbares Gewicht in Spiritus ist \(0,42{\rm{N}}\) (\({\rho _{Sp}} = 0,80\frac{{\rm{g}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\)).

  1. Berechne die Dichte des Salzbrockens.
  2. Warum wird der Versuch mit Spiritus und nicht mit Wasser ausgeführt?
Lösung
  1. Zuerst berechnen wir die Masse \(m_{Sa}\) des Salzbrockens:
    \[F_{g,Sa} = m_{Sa} \cdot g \Leftrightarrow m_{Sa} = \frac{F_{g,Sa}}{g} \Rightarrow m_{Sa} = \frac{{0,66{\rm{N}}}}{{9,81\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}}}} \approx 0,067{\rm{kg}}\]
    Dann berechnen wir die Auftriebskraft \(F_A\) des Salzbrockens:
    \[{F_A} = 0,66\rm{N} - 0,42\rm{N} = 0,24\rm{N}\]
    Da die Auftriebskraft \(F_A\) des Salzbrockens gleich der Gewichtskraft \(F_{g,Sp}\) der verdrängten Flüssigkeit Spiritus ist, gilt dann:
    \[F_{g,Sp}=0,24\rm{N}\]
    Hiermit berechnen wir die Masse \(m_{Sp}\) der verdrängten Flüssigkeit Spiritus
    \[{F_{g,Sp}} = {m_{Sp}} \cdot g \Leftrightarrow {m_{Sp}} = \frac{{{F_{g,Sp}}}}{g} \Rightarrow {m_{Sp}} = \frac{{0,24{\rm{N}}}}{{9,81\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}}}} \approx 0,024{\rm{kg}}\]
    und damit das Volumen \(V_{Sp}\) der verdrängten Flüssigkeit Spiritus:
    \[{m_{Sp}} = {\rho _{Sp}} \cdot {V_{Sp}} \Leftrightarrow {V_{Sp}} = \frac{{{m_{Sp}}}}{{{\rho _{Sp}}}} \Rightarrow {V_{Sp}} = \frac{{24g}}{{0,80\frac{{\rm{g}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}}} = 30{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\]
    Das Volumen \(V_{Sp}\) des verdrängten Spiritus ist gleich dem Volumen \(V_{Sa}\) des Salzbrockens. Somit gilt für die Dichte des Salzbrockens:
    \[{m_{Sa}} = {\rho _{Sa}} \cdot {V_{Sa}} \Leftrightarrow {\rho _{Sa}} = \frac{{{m_{Sa}}}}{{{V_{Sa}}}} \Rightarrow {\rho _{Sa}} = \frac{{67{\rm{g}}}}{{30{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} \approx 2,2\frac{{\rm{g}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\]
  2. Das Salz würde sich im Wasser auflösen.

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Der Luftdruck ist der Druck, der aufgrund der Gewichtskraft der Luftsäule überhalb eines Körpers auf diesen Körper wirkt. 
  • Luftdruck wird häufig in der Einheit \(\rm{bar}\) angegeben, wobei \(1\,\rm{bar}=10^5\,\rm{Pa}\) entspricht.
  • Der mittlere Luftdruck der Atmosphäre auf Meereshöhe beträgt mit \(101\,325\,\rm{Pa}\) etwa \(1\,\rm{bar}\).

Der Begriff "Luftdruck" bezeichnet den Druck, den die Luftsäule über einem Gegenstand aufgrund ihrer Gewichtskraft auf diesen Gegenstand ausübt. Auch wenn du die Größe des Luftdrucks selbst nicht direkt ohne Messgerät wahrnehmen kannst, kannst du schnelle Luftdruckänderungen bspw. beim Fliegen oder beim Aufzug fahren in Form von "Druck auf den Ohren" registrieren. Weiter spielt der Luftdruck bei Phänomenen wie dem Wetter oder der Sidetemperatur von Wasser eine wichtige Rolle.

Größenordnung des Luftdrucks

Der Luftdruck auf Meereshöhe beträgt normgemäß \(101\,325\,\rm{Pa}\). Häufig wird für den Luftdruck jedoch anstelle der Einheit Pascal auf die Einheit \(\rm{bar}\) verwendet. Dabei gilt: \[1\,\rm{bar} = 10^5\,\rm{Pa}\] Als Faustregel kannst du dir daher merken, dass der Luftdruck auf Meereshöhe etwa \(1\,\rm{bar}\) beträgt. Dies entspricht in etwa dem Druck, den eine Wassersäule von 10 Metern Höhe verursacht.

Einfluss der Höhe auf den Luftdruck

Der Luftdruck \(p_{\rm{Luft}}\) auf einen Gegenstand wird durch die Höhe der Luftsäule über dem Gegenstand bestimmt. Daher beeinflusst die Position des Gegenstandes in der Erdatmosphäre den Luftdruck auf den Gegenstand: Befindet sich der Gegenstand auf Meereshöhe, so ist die Luftsäule über dem Gegenstand höher als wenn sich der Gegenstand auf der Zugspitze befindet. Daher ist auch der Luftdruck auf den Gegenstand auf Meereshöhe mit etwa \(1\,\rm{bar}\) größer als auf der Zugspitze, wo der Luftdruck nur etwa \(0{,}7\,\rm{bar}\) beträgt.

Es besteht jedoch kein linearer Zusammenhang zwischen Höhe und Luftdruck, da sich verschiede Faktoren wie die Luftdichte und die Temperatur der Luft sich ebenfalls mit der Höhe verändern. Der Zusammenhang zwischen Höhe und Luftdruck wird näherungsweise durch die Exponentialfunktion der Barometrische Höhenformel beschrieben, auf die hier nicht näher eingegangen werden soll.

Messung mittels Barometer

Barometer
Abb.
1
Barometer als Wetterindikator

Gemessen wird der Luftdruck mit einem Barometer. Barometer gibt es in verschiedenen Bauformen und mit unterschiedlichen Funktionsprinzipien. So gibt es z.B. Flüssigkeitsthermometer wie das TORRICELLI-Barometer oder das GOETHE-Barometer, aber auch Dosenbaromter, die heute gebräuchlicher sind.

Luftdruck in Alltag und Technik

Der Luftdruck und Luftdruckuntersschiede haben großen Einfluss auf unser Wetter. Daher sind auf vielen Wetterkarten Hochdruck- und Tiefdruckgebiete eingezeichnet. Auch Barometer dienen wie in Abb. 1 häufig als Wetterindikator. Hochdruck geht dabei meist mit trockenen Wetterlagen einher während Tiefdruckgebiete häufig Niederschlag in Form von Regen oder Schnee mit sich bringen.

Auch auf die Sidetemperatur von Wasser hat der Luftdruck Einfluss. Je höher der Luftdruck, desto höher ist auch die Sidetemperatur. Dies nutzt du bspw. beim Dampfkochtopf aus: Im Dampfkochtopf entsteht ein höherer Druck, die Sidetemperatur des Wassers steigt und Kartoffeln sind schneller gar, da sie so bei Temperaturen über 100 °C gekocht werden. Umgekehrt bedeutet dies aber auch, dass die Sidetemperatur mit der Höhe abnimmt und die Sidetemperatur von Wasser auf der Zugspitze mit nur 90 °C deutlich niedriger ist als auf Meereshöhe.

Verständnisaufgabe

Markiere, welche der folgenden Aussagen über den Luftdruck korrekt sind.

Lösungsvorschläge
Lösung

Richtig sind die Antworten a), c) und e).

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