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Versuche

Energiebilanz beim Federpendel

An eine ungedehnte Feder der Härte \(D\) wird ein Körper der Masse \(m\) angehängt und losgelassen. Es ergibt sich eine (harmonische) Schwingung. Wir betrachten hier den idealisierten ungedämpften Fall, bei dem Widerstandskräfte, die die Schwingungshöhe mit der Zeit verkleinern, nicht berücksichtigt werden. Die Feder pendelt dann zwischen den Punkten \(+h\) und \(-h\) hin und her mit dem Punkt 0 in der Mitte. Als Nullpunkt der Lageenergie wählen wir den tiefsten Punkt, den die Feder erreicht.

Abb. 1 Energiebilanz bei einem Federpendel während einer Schwingungsperiode
Aufgabe

Erläutere, warum die Lageenergie am höchsten Punkt (gegenüber dem tiefsten Punkt) genau so groß ist wie die elastische Energie am tiefsten Punkt.

Lösung

Im höchsten Punkt ist die gesamte Energie Lageenergie (keine elastische Energie, keine Bewegungsenergie).

Im tiefsten Punkt ist die gesamte Energie elastische Energie (keine Lageenergie, keine Bewegungsenergie).

Da die Gesamtenergie bei Vernachlässigung von Widerstandskräften immer konstant bleibt, ist die Lageenergie im höchsten Punkt gleich der elastischen Energie im tiefsten Punkt.

Untersuche, wie viel der Lageenergie im Punkt 0 in elastische und wie viel ist in kinetische umgewandelt worden ist.

Lösung

Die Lageenergie hat die Formel \({E_{{\rm{pot}}}} = m \cdot g \cdot h\). Dies bedeutet, dass in halber Höhe die Hälfte der im obersten Punkt vorhandenen Lageenergie in andere Energieformen umgewandelt wurde.

Die elastische Energie hat die Formel \({E_{{\rm{Spann}}}} = \frac{1}{2} \cdot D \cdot {s^2}\). Die elastische Energie ist also nach einer Dehnung um \(2 \cdot h\) viermal so groß wie nach einer Dehnung um \(h\).

Da nach der Dehnung um \(2 \cdot h\) die elastische Energie genau so groß ist wie die Lageenergie im obersten Punkt (siehe Lösung zu Teilaufgabe a)), ist die elastische Energie in der Höhe 0 (nach einer Dehnung um \(h\)) nur ein Viertel der Lageenergie zu Beginn.

Der Rest der umgewandelten Lageenergie wurde in Bewegungsenergie umgewandelt, also ebenfalls ein Viertel der Lageenergie zu Beginn.

Erläutere, warum Punkt 0 der Punkt ist, in dem das Federpendel zur Ruhe kommt, wenn die Widerstandskräfte die Schwingung völlig abgebremst haben.

Lösung

Wenn das Pendel zur Ruhe kommt, muss sich Kräftegleichgewicht zwischen der Gewichtskraft \( F_\text{G} = m \cdot g \) und der Federkraft \( F_\text{F} = D \cdot s \) einstellen. Es muss also gelten\[m \cdot g = D \cdot s \quad(1)\]Auf Grund der Energiebedingung in der ersten Teilaufgabe gilt\[{E_{{\rm{pot,max}}}} = {E_{{\rm{Spann,max}}}} \Leftrightarrow m \cdot g \cdot \left( {2 \cdot h} \right) = \frac{1}{2} \cdot D \cdot {\left( {2 \cdot h} \right)^2} \Leftrightarrow m \cdot g \cdot 2 \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot {h^2} \Leftrightarrow m \cdot g = D \cdot h \quad(2)\]Aus dem Vergleich der Gleichungen \((1)\) und \((2)\) erkennt man, dass \(s = h\) sein muss.

Untersuche, wie viel Energie (bezogen auf die Lageenergie des Punktes \(h\) gegenüber dem Punkt \(-h\)) durch die Widerstandskräfte dem System entzogen worden ist, wenn es zur Ruhe gekommen ist.

Lösung

Wenn das Pendel zur Ruhe kommt, wurde die Hälfte der ursprünglichen Lageenergie (bezogen auf die Lageenergie des Punktes \(h\) gegenüber dem Punkt \(-h\)) umgewandelt. Von dieser umgewandelten Hälfte der Energie liegen \(50\% \) als elastische Energie vor (noch vorhande Energie) und die anderen \(50\% \) werden durch die Widerstandskräfte dem System entzogen. Insgesamt wird dem System ein Viertel, also\(25\% \) der ursprünglichen Lageenergie entzogen.