Mechanik

Arbeit, Energie und Leistung

Spannenergie

  • Was ist der Unterschied zwischen Arbeit und Kraft?
  • Woher kommt und wohin geht eigentlich die ganze Energie?
  • Kann man mit einem Fahrrad einen Liter Wasser zum Kochen bringen?

Spannenergie

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Spannenergie kann in einem elastischen Körpern wie einer Feder oder einem Gummiseil gespeichert sein.
  • Die Spannenergie \(E_{\rm{Spann}}\) hängt von der Dehnung bzw. Stauchung \(s\) der Feder und der Federhärte \(D\)  ab.
  • Für die Spannenergie gilt: \(E_{\rm{Spann}}=\frac{1}{2}\cdot D\cdot s^2\).
1 Abhängigkeit der Spannenergie von Federdehnung \(s\) und Federhärte (Federkonstante) \(D\)
Von welchen Größen hängt die Spannenergie ab?

Plausible Festlegung: Je größer die Energie des auf den Kneteklumpen treffenden Körpers ist, desto stärker wird der Kneteklumpen verformt (größere Eindringtiefe). Da bei dem betrachteten Vorgang zunächst Spannenergie in kinetische Energie umgewandelt wird, kann man aus einer stärkeren Verformung des Kneteklumpens auch auf eine höhere Spannenergie schließen.

Versuch 1: Man lässt eine von einer gespannten Feder (Federhärte \(D\)) beschleunigte Kugel auf einen Kneteklumpen treffen und beobachtet die Eindringtiefe.

Versuch 2: Man spannt die gleiche Feder stärker vor und wiederholt Versuch 1.

Versuch 3: Nun tauscht man die bisherige Feder durch eine härtere Feder aus, spannt diese wie bei Versuch 1 vor und beobachtet die Eindringtiefe der Kugel in den Kneteklumpen.

Ergebnis: Die Spannenergie (Überbegriff: potentielle Energie) einer Feder ist umso größer, je stärker die Feder zusammengedrückt bzw. gespannt und je größer die Härte \(D\) der Feder ist.

Ermitteln des formelmäßigen Zusammenhangs

Nun soll der genaue formelmäßige (in der Fachsprache: quantitative) Zusammenhang zwischen Spannenergie \(E_{\rm{spann}}\), Federhärte \(D\) und der Dehnung bzw. Stauchung \(s\) der Feder herausgefunden werden. Dies gelingt durch Verwendung der Formel für die potentielle Energie und des Energieerhaltungssatzes.

Du wählst dazu einen Versuch wie in Abb. 2 aus, bei dem Spannenergie möglichst reibungsfrei in potentielle Energie umgewandelt wird.

Da die Spannenergie von zwei Größen abhängt, musst du auch zwei Messreihen aufnehmen, in der du jeweils eine Größe variierst und alle anderen Größen konstant hältst.

2 Quantitative Untersuchung der Abhängigkeit der Spannenergie von Federhärte und Federspannung
Versuchsidee

Du dehnst eine an einer Schnur hängende Feder, deren Mitte mit einem Zeiger (rot) markiert ist, um die Strecke \(s\). Die Feder besitzt nun Spannenergie.
Lässt du die Feder los, so "springt" diese um die Höhe \(h\) nach oben. Am höchsten Punkt ist die gesamte anfängliche Spannenergie in Höhenenergie umgewandelt worden.
Formelmäßig gilt also \[E_{\text{Spann,vorher}} = E_{\text{pot,nachher}} \qquad \text{oder "salopper":} \qquad E_{Spann} = E_{pot} \qquad \text{(1)} \]

Einfluss der Dehnung \(s\)

Um den Zusammenhang zwischen der Dehnung \(s\) der Feder und \(E_{\rm{Spann}}\) zu untersuchen, nimmst du eine Messreihe auf, bei der du die Dehnung \(s\) der Feder veränderst, aber nicht die Federhärte \(D\) und die Federmesse.

Es zeigt sich, dass \[h \sim s^2\]ist. Da die Federmasse \(m\) und der Ortsfaktor \(g\) konstant waren, gilt auch:\[ m \cdot g \cdot h \sim s^2 \quad \Rightarrow \quad E_{\rm{pot}} \sim s^2 \]Mit dem Energiesatz (1) folgt:\[ \bbox[lightgreen,12px,border:2px solid grey]{E_{\rm{Spann}} \sim s^2 \qquad \text{(2)}} \]

Einfluss der Federhärte \(D\)

Nun veränderst du Federhärte \(D\) durch die Nutzung verschiedener Federn, aber dehnst diese jeweils um die gleiche Strecke \(s\). Es zeigt sich:\[ m \cdot g \cdot h \sim D \quad \Rightarrow \quad E_{pot} \sim D \]Mit dem Energiesatz (1) folgt:\[\bbox[lightgreen,12px,border:2px solid grey]{E_{\rm{Spann}} \sim D \qquad \text{(3)}}\]

Zusammenführen der Erkenntnisse

Aus (2) und (3) folgt: \[ E_{\rm{Spann}} \sim D \cdot s^2\quad\Rightarrow\quad E_{\rm{Spann}} =C\cdot D \cdot s^2 \] Eine genaue Auswertung der entsprechenden Experimente ergibt, dass der Proportionalitätsfaktor \(C\) wiederum den Wert \(\frac{1}{2}\) hat.

Spannenergie

Somit gilt für die Spannenergie \(E_{\rm{Spann}}\) einer Feder mit der Federhärte \(D\) und der Dehnung \(s\):

\[E_{\rm{Spann}} = \frac{1}{2} \cdot D \cdot s^2 \]

Die Einheit der Spannenergie entspricht der Einheit der potentiellen Energie, also \([E_{\rm{Spann}}]=1\,\rm{J}\).

Hinweis: Wenn du die genaue Durchführung eines ähnlichen Versuchs betrachten willst, so gehe zur Seite "Energieerhaltungssatz Feder".

Mathematische Hilfen

Um Aufgaben zur Spannenergie zu lösen musst du häufig die Gleichung \(E_{\rm{Spann}} = \frac{1}{2} \cdot D \cdot s^2\) nach einer Größe, die unbekannt ist, auflösen. Wie du das machen kannst zeigen wir dir in der folgenden Animation.

Die Gleichung\[\color{Red}{E_{\rm{Spann}}} = {\frac{1}{2}} \cdot {D} \cdot {s}^2\]ist bereits nach \(\color{Red}{E_{\rm{Spann}}}\) aufgelöst. Du brauchst also keine Umformungen durchzuführen.
Um die Gleichung\[{E_{\rm{Spann}}} = {\frac{1}{2}} \cdot \color{Red}{D} \cdot {s}^2\]nach \(\color{Red}{D}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[{\frac{1}{2}} \cdot \color{Red}{D} \cdot {s}^2 = {E_{\rm{Spann}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({\frac{1}{2}} \cdot {s}^2\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \({\frac{1}{2}} \cdot {s}^2\) im Nenner steht.
\[\frac{{{\frac{1}{2}} \cdot \color{Red}{D} \cdot {s}^2}}{{\frac{1}{2}} \cdot {s}^2} = \frac{{E_{\rm{Spann}}}}{{\frac{1}{2}} \cdot {s}^2}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({\frac{1}{2}} \cdot {s}^2\) und vereinfache die rechte Seite der Gleichung.\[\color{Red}{D} = \frac{{E_{\rm{Spann}}}}{{\frac{1}{2}} \cdot {s}^2} = \frac{2 \cdot {E_{\rm{Spann}}}}{{s}^2}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{D}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[{E_{\rm{Spann}}} = {\frac{1}{2}} \cdot {D} \cdot \color{Red}{s}^2\]nach \(\color{Red}{s}\) aufzulösen, musst du vier Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[{\frac{1}{2}} \cdot {D} \cdot \color{Red}{s}^2 = {E_{\rm{Spann}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({\frac{1}{2}} \cdot {D}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \({\frac{1}{2}} \cdot {D}\) im Nenner steht.
\[\frac{{\frac{1}{2}} \cdot {D} \cdot \color{Red}{s}^2}{{\frac{1}{2}} \cdot {D}} = \frac{{E_{\rm{Spann}}}}{{\frac{1}{2}} \cdot {D}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({\frac{1}{2}} \cdot {D}\) und vereinfache die rechte Seite der Gleichung.\[\color{Red}{s}^2 = \frac{{E_{\rm{Spann}}}}{{\frac{1}{2} \cdot {D}}} = \frac{2 \cdot {E_{\rm{Spann}}}}{{D}}\]
Ziehe auf beiden Seiten der Gleichung die Quadratwurzel.\[\color{Red}{s} = \sqrt{\frac{2 \cdot {E_{\rm{Spann}}}}{{D}}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{s}\) aufgelöst.
5 Schrittweises Auflösen der Formel für die Spannenergie nach den drei in der Formel auftretenden Größen
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