Energieänderung eines Systems und der Begriff der Arbeit
Der Energieerhaltungssatz sagt, dass die Gesamtenergie eines abgeschlossenen Systems, d.h. eines Systems, das nicht mit der Umgebung ("außen") wechselwirkt, erhalten bleibt.
Wenn das System aber nicht abgeschlossen ist, kann zwischen dem System und der Umgebung Energie übertragen werden. Dadurch kann das System Energie gewinnen und sich die Gesamtenergie des Systems vergrößern; das System kann aber auch Energie verlieren und sich die Gesamtenergie verkleinern.
Wenn sich die Gesamtenergie des Systems "durch einem mechanischen Prozess" ändert, dann sagen wir "es wird gearbeitet" oder "es wird Arbeit verrichtet". Der Änderung \(\Delta E\) der Gesamtenergie des Systems bei einem solchen mechanischem Prozess bezeichnen wir in der Physik mit einem eigenen Begriff: wir bezeichnen diese Energieänderung als Arbeit und geben ihr das Formelzeichen \(W\) für das englische "work".
Hinweis: Die Energie eines Systems kann sich nicht nur dadurch ändern, dass gearbeitet wird. Auch durch die Aufnahme oder die Abgabe von Wärme verändert sich die Energie eines Systems. Dies soll aber hier im Bereich der Mechanik nicht untersucht werden.
An einem System wird Arbeit verrichtet
Die Animation in Abb. 1 soll dir zeigen, was die Physik darunter versteht, wenn sie sagt "an einem System wird (von außen) Arbeit verrichtet".
Der graue Rahmen soll ein physikalisches System darstellen, in dem weißen Bereich darin soll das System Energie speichern können.
Zu Beginn befindet sich bereits eine bestimmte Menge Energie - hier hellblau dargestellt - in dem System.
Wenn du die Animation startest, erscheint ein roter Pfeil, der auf den grauen Kasten hin zeigt. Dieser Pfeil soll symbolisieren, dass dem System von außen Energie hinzugefügt wird und sich die Energie des Systems dadurch vergrößert. Dies bezeichnen wir mit "am System wird Arbeit verrichtet" oder kurz "am System wird gearbeitet".
Ein System verrichtet Arbeit
Die Animation in Abb. 2 soll dir zeigen, was die Physik darunter versteht, wenn sie sagt "ein System verrichtet (nach außen) Arbeit".
Der graue Rahmen soll wieder ein physikalisches System darstellen, in dem weißen Bereich darin soll das System Energie speichern können.
Zu Beginn befindet sich eine bestimmte Menge Energie - hier hellblau dargestellt - in dem System.
Wenn du die Animation startest, erscheint ein roter Pfeil, der von dem grauen Kasten weg zeigt. Dieser Pfeil soll symbolisieren, dass das System nach außen Energie abgibt und sich die Energie des Systems dadurch verkleinert. Dies bezeichnen wir mit "das System verrichtet Arbeit" oder kurz "das System arbeitet".
Vorzeichen der Energieänderung und Vorzeichen der Arbeit
Egal, ob an einem System Arbeit verrichtet wird oder ob das System Arbeit verrichtet: Die Gesamtenergie des Systems ist vorher eine andere als nachher. Die Änderung der Gesamtenergie des Systems bezeichen wir mit \(\Delta E\) und berechnen sie durch\[\Delta E=E_{\rm{nachher}}-E_{\rm{vorher}}\]An dieser Formel kannst du nun erkennen, dass diese Energieänderung \(\Delta E\), die wir ja als Arbeit \(W\) bezeichnen, sowohl positiv als auch negativ sein kann:
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Wird am System Arbeit verrichtet und nimmt dadurch die Energie des Systems zu, dann ist \(E_{\rm{nachher}} > E_{\rm{vorher}}\) und damit \(\Delta E=E_{\rm{nachher}}-E_{\rm{vorher}} >0\). Damit gilt für die Arbeit, die an einem System verrichtet wird, \(W>0\).
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Verrichtet das System Arbeit und nimmt dadurch die Energie des Systems ab, dann ist \(E_{\rm{vorher}} > E_{\rm{nachher}}\) und damit \(\Delta E=E_{\rm{nachher}}-E_{\rm{vorher}} < 0\). Damit gilt für die Arbeit, die ein System verrichtet, \(W<0\).
Die physikalische Arbeit in der Mechanik
Es wird physikalische Arbeit \(W\) verrichtet, wenn eine Kraft \(\vec F\) längs eines Weges \(s\) wirkt. Es gilt \[W=F_{\rm{s}}\cdot s\;\rm{mit}\;[\rm{W}] = 1 Nm = 1 J\] Dabei ist \(s\) der zurückgelegte Weg und \(F_\rm{s}\) der Betrag der Kraft in Bewegungsrichtung.
Hinweise zur Arbeit mit der Formel
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Wirkt die Kraft \(\vec F\) nicht längs des Weges \(s\), so ist für die Arbeitsberechnung nur die Kraftkomponente \(\vec F_\rm{s}\) in Wegrichtung einzusetzen.
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Wirkt die Kraft \(\vec F\) senkrecht zur Wegrichtung, so wird keine Arbeit verrichtet und es gilt \(W=0\)
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Ändert sich der Betrag \(\vec F\) der Kraft längs des Weges \(s\), so ist obige Formel nicht anwendbar.
Verschiedene Typen der Arbeit und ihre Berechnung
Hubarbeit
Aus der Definition der physikalischen Arbeit ergibt sich die Arbeit \(W_{\rm{Hub}}\), die man beim Anheben eines Körpers aufbringen muss, als Differenz der potentiellen Energie \(E_{\rm{pot,nach}}\) des Körpers am Ende des Hubvorgangs und der potentiellen Energie \(E_{\rm{pot,vor}}\) des Körpers am Anfang des Hubvorgangs\[{{W_{{\rm{Hub}}}} = \Delta E = {E_{{\rm{pot,nach}}}} - {E_{{\rm{pot,vor}}}} = {F_{\rm{G}}} \cdot \Delta h}\]Um den Sack in der Animation in Abb. 2 nach oben zu ziehen, muss du Hubarbeit verrichten. Dazu ziehst du mit der Kraft \({{\vec F_{\rm{a}}}} \) am Seil. Diese Kraft ist die Kraft in Wegrichtung, also \( {{\vec F_{\rm{a}}}} = {{\vec F_{\rm{s}}}}\).
Nun hebt sich der Sack um die Strecke \({\Delta h}\), während das Seil in deinen Händen die Strecke \({\Delta s}\) zurücklegt. Diese beiden Strecken sind natürlich gleich lang, also gilt \({\Delta h = \Delta s}\).
Da aufgrund der Kontruktion mittels Umlenkrolle der Betrag von \( {{\vec F_{\rm{g}}}} \) gleich dem Betrag von \( {{\vec F_{\rm{s}}}} \) ist, gilt auch\[{{W_{{\rm{Hub}}}} = {F_{\rm{G}} \cdot \Delta h}={F_{\rm{s}} \cdot \Delta s}}\]
Beschleunigungsarbeit
Aus der Definition der physikalischen Arbeit ergibt sich die Arbeit \(W_{\rm{Beschleunigung}}\), die man beim Beschleunigen eines Körpers aufbringen muss, als Differenz der kinetischen Energie \(E_{\rm{kin,nach}}\) des Körpers am Ende des Beschleunigungsvorgangs und der kinetischen Energie \(E_{\rm{kin,vor}}\) des Körpers am Anfang des Beschleunigungsvorgangs \[{{W_{{\rm{Beschleunigung}}}} = \Delta E = {E_{{\rm{kin,nach}}}} - {E_{{\rm{kin,vor}}}} = \frac{1}{2}m \cdot \left( {v_{{\rm{nach}}}^2 - v_{{\rm{vor}}}^2} \right)}\]In der Animation in Abb. 3 wird ein Auto mit der Masse \(m\) ausgehend von der Geschwindigkeit \(\vec v_{\rm{vor}}\) konstant beschleunigt, bis es nach der Strecke \(\Delta s\) die Geschwindigkeit \(\vec v_{\rm{nach}} \) erreicht. Bei der Beschleunigung soll der Einfachheit halber eine konstante Kraft \(\vec F_{\rm{s}} \) längs der Strecke \(\Delta s\). So kann man für die Beschleunigungsarbeit auch schreiben\[{{W_{{\rm{Beschleunigung}}}} = {F_{\rm{s}}} \cdot \Delta s}\]
Spannarbeit
Aus der Definition der physikalischen Arbeit ergibt sich die Arbeit \(W_{\rm{Spann}}\), die man beim Spannen einer Feder aufbringen muss, als Differenz der Spannenergie \(E_{\rm{Spann,nach}}\) der Feder am Ende des Spannvorgangs und der Spannenergie \(E_{\rm{Spann,vor}}\) der Feder am Anfang des Spannvorgangs\[{{W_{{\rm{Spann}}}} = \Delta E = {E_{{\rm{Spann,nach}}}} - {E_{{\rm{Spann,vor}}}} = \frac{1}{2}D \cdot \left( {s_{{\rm{nach}}}^2 - s_{{\rm{vor}}}^2} \right)}\]Wenn wie in der Animation in Abb. 4 eine Feder aus ihrer Ruhelage (Ruhelänge) heraus gespannt wird, also \({{s_{\rm{vor}}} = 0}\) ist, so gilt \[{{W_{{\rm{Spann}}}} = \frac{1}{2}D \cdot {s^2}}\] Achtung, dabei ist \[{W_{\rm{Spann}}} \ne {F_{\rm{s}}} \cdot s\] da sich der Betrag der Kraft \(\vec F\) während des Spannens längs des Weges ändert. Berechnet man die Fläche unter der Weg-Kraft-Kurve (Dreiecksfläche), so ergibt sich\[{{W_{{\rm{Spann}}}} = \frac{1}{2}{F_{\rm{s}}} \cdot s = \frac{1}{2}(D \cdot s) \cdot s = \frac{1}{2}D \cdot {s^2}}\]
Reibarbeit
\[{{W_{{\rm{Reibung}}}} = \Delta E = {E_{{\rm{pot,nach}}}} - {E_{{\rm{pot,vor}}}} < 0 \Rightarrow \left| {{W_{{\rm{Reibung}}}}} \right| = {F_{\rm{G}}} \cdot \left| {\Delta h} \right|}\]Fällt ein Fallschirmspringer wie in der Animation rechts mit konstanter Geschwindigkeit, so ist der Betrag der Kraft \( {{\vec F_{\rm{G}}}} \) gleich dem Betrag der Kraft \( {{ \vec F_{\rm{Reibung}}}} \).
Die Kraft \( {{ \vec F_{\rm{Reibung}}}} \) ist die Kraft \( {{ \vec F_{\rm{s}}}} \) in Wegrichtung und der Betrag der Höhe \({\Delta h}\), um die der Fallschirmspringer fällt, ist der zurückgelegte Weg \({\Delta s}\). Somit gilt auch \[{\left| {{W_{{\rm{Reibung}}}}} \right| = {F_{{\rm{Reibung}}}} \cdot \left| {\Delta h} \right| ={F_{\rm{s}}} \cdot \Delta s}\]