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Aufgabe

Schleppliftfahrt

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Joachim Herz Stiftung
Abb. 1 Schleppliftfahrt

Flexon (mit Ausrüstung \(70\,\rm{kg}\)) wird vom Schlepplift mit konstanter Geschwindigkeit den \(l = 200\,\rm{m}\) langen Hang hochgezogen. Die Zugkraft \({{\vec F}_{\rm{Z}}}\) im Seil habe einen Betrag von \(500\,\rm{N}\).

a)

Berechne die Arbeit, die an Flexon verrichtet wird, wenn Flexon den Hang hochgezogen wird.

Berechne weiter, welcher Anteil dieser Arbeit Hubarbeit und welcher Reibungsarbeit ist.

b)

Berechne die mechanische Leistung, wenn die Auffahrt \(300\,\rm{s}\) dauert.

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a)

Gegeben sind \(m=70\,\rm{kg}\), \(l = 200\,\rm{m}\) und \({F_{\rm{Z}}} = 500\,{\rm{N}}\).

Gesucht ist \(W\).

Die an Flexon verrichtete Arbeit \(W\) ist das Produkt aus der zurückgelegten Strecke \(l\) und der Komponente \({{{\vec F}_\parallel }}\) der Zugkraft parallel zu dieser Strecke. Aus der Skizze kann man entnehmen, dass die Zugkraft \({{\vec F}_{\rm{Z}}}\) in einem Winkel der Weite \(30^\circ \) gegen den Hang wirkt. Damit gilt für die Komponente \({{{\vec F}_\parallel }}\) der Zugkraft parallel zum Hang nach dem Kosinussatz im rechtwinkligen Dreieck\[\cos \left( {30^\circ } \right) = \frac{{{ F_\parallel }}}{{{F_{\rm{Z}}}}} \Leftrightarrow {F_\parallel } = {F_{\rm{Z}}} \cdot \cos \left( {30^\circ } \right) \Rightarrow {F_\parallel } = 500\,{\rm{N}} \cdot \cos \left( {30^\circ } \right) = 433\,{\rm{N}}\]Damit ergibt sich für die verrichtete Arbeit \(W\)\[W = 433\,{\rm{N}} \cdot 200\,{\rm{m}} = 8{,}66 \cdot {10^4}\,{\rm{J}}\]Wir vernachlässigen die Beschleunigungsarbeit zu Beginn der Fahrt und berücksichtigen nur die Hubarbeit \({W_{{\rm{Hub}}}} = m \cdot g \cdot h\) und die Reibungsarbeit \({W_{{\rm{Reib}}}} = F_{\rm{GR}} \cdot l\) aufgrund der Gleitreibung.

Bei einem Anstieg des Hangs von \(30^\circ \) gilt für die Höhe \(h\) nach dem Sinussatz im rechtwinkligen Dreieck\[\sin \left( {30^\circ } \right) = \frac{h}{l} \Leftrightarrow h = l \cdot \sin \left( {30^\circ } \right) \Rightarrow h = 200\,\rm{m} \cdot \frac{1}{2} = 100\,\rm{m}\]Damit ergibt sich für die Hubarbeit \(W_{\rm{Hub}}\)\[W_{\rm{Hub}} = m \cdot g \cdot h \Rightarrow {W_{{\rm{Hub}}}} = 70\,{\rm{kg}} \cdot 9{,}8\,\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}} \cdot 100\,{\rm{m}} = 6{,}9 \cdot {10^4}\,{\rm{J}}\]Damit ergibt sich für die Reibungsarbeit \(W_{\rm{Reib}}\)\[W = {W_{{\rm{Hub}}}} + {W_{{\rm{Reib}}}} \Leftrightarrow {W_{{\rm{Reib}}}} = W - {W_{{\rm{Hub}}}} \Rightarrow {W_{{\rm{Reib}}}} = 8{,}7 \cdot {10^4}\,{\rm{J}} - 6{,}9 \cdot {10^4}\,{\rm{J}} = 1{,}8 \cdot {10^4}\,{\rm{J}}\]

Die Reibungsarbeit kann man auch direkt über die Gleitreibung ausrechnen: Die Kraft \({{{\vec F}_\parallel }}\) muss sowohl die Hangabtriebskraft \({{\vec F}_{{\rm{HA}}}}\) als auch die Gleitreibungskraft \({\vec F}_{\rm{GR}}\) kompensieren. Für die Hangabtriebskraft \({{\vec F}_{{\rm{HA}}}}\) gilt nun bei einem Anstieg des Hangs von \(30^\circ \) nach dem Sinussatz im rechtwingligen Dreieck\[\sin \left( {30^\circ } \right) = \frac{{{F_{{\rm{HA}}}}}}{{{F_{\rm{G}}}}} \Leftrightarrow {F_{{\rm{HA}}}} = {F_{\rm{G}}} \cdot \sin \left( {30^\circ } \right) = m \cdot g \cdot \sin \left( {30^\circ } \right) \Rightarrow {F_{{\rm{HA}}}} = 70\,{\rm{kg}} \cdot 9{,}8\,\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}} \cdot \sin \left( {30^\circ } \right) = 343\,{\rm{N}}\]Damit ergibt sich für die Gleitreibungskraft \(\vec F_{\rm{GR}}\)\[{F_\parallel } = {F_{{\rm{HA}}}} + {F_{{\rm{GR}}}} \Leftrightarrow {F_{{\rm{GR}}}} = {F_\parallel } - {F_{{\rm{HA}}}} \Rightarrow {F_{{\rm{GR}}}} = 433\,{\rm{N}} - 343\,{\rm{N}} = 90\,{\rm{N}}\]und damit für die Reibungsarbeit \(W_{\rm{Reib}}\)\[{W_{{\rm{Reib}}}} = {F_{{\rm{GR}}}} \cdot l \Rightarrow {W_{{\rm{Reib}}}} = 90\,{\rm{N}} \cdot 200\,{\rm{m}} = 1{,}8 \cdot {10^4}\,{\rm{J}}\]

b)

\[P = \frac{W}{{\Delta t}} \Rightarrow P = \frac{{8{,}7 \cdot {{10}^4}\,{\rm{J}}}}{{300\,{\rm{s}}}} = 290\,{\rm{W}}\]Das Ergebnis ist auf zwei gültige Ziffern genau.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Energieerhaltung und -umwandlung