In Abb. 1 siehst du einen Körper 2 der Masse \(m_2\), der an der losen Rolle eines Flaschenzugs hängt. Der Körper soll aus einer Höhe \(s\) losgelassen werden und sich dann ohne Luftwiderstand zu Boden bewegt. Das lose Ende des Seils läuft über eine feste reibungsfreie Rolle und ist mit einem zweiten Körper 1 der Masse \(m_1\) verbunden, der sich dann ebenfalls ohne Luftwiderstand nach oben bewegt. Es sei \(m_1=12\,\rm{kg}\), \(m_2=48\,\rm{kg}\) und \(s=2{,}0\,\rm{m}\). Rechne mit \({g = 10\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}\).
In der ersten Teilaufgabe soll zuerst eine Beziehung allgemein begründet werden, die wir für die späteren Teilaufgaben benötigen.
a)Begründe durch eine erste Rechnung, dass während der Bewegung die Beschleunigung \(a_1\) von Körper 1 betraglich doppelt so groß ist wie die Beschleunigung \(a_2\) von Körper 2. Tipp: Beide Körper benötigen für die Bewegung die gleiche Zeit \(t\).
Begründe durch eine zweite Rechnung, dass am Ende der Bewegung die Geschwindigkeit \(v_1\) von Körper 1 betraglich doppelt so groß ist wie die Geschwindigkeit \(v_2\) von Körper 2.
Nun gehen wir an die konkrete Bestimmung einzelner Größen.
b)Berechne mit Hilfe einer Energietabelle die Geschwindigkeiten \(v_1\) und \(v_2\) der beiden Körper am Ende der Bewegung.
c)Schwieriger: Entwickle mit Hilfe einer Energietabelle zwei Formeln zur Berechnung der Geschwindigkeiten \(v_1\) und \(v_2\) der beiden Körper am Ende der Bewegung.
Berechne die Geschwindigkeiten \(v_1\) und \(v_2\) für die angegebenen Werte.
a)Beide Körper benötigen für die gleichmäßig beschleunigten Bewegungen die gleiche Zeit \(t_1 = t_2 = t\). Aus dem Zeit-Ort-Gesetz der gleichmäßig beschleunigten Bewegung ergibt sich allgemein\[s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot {t^2} \Leftrightarrow {t^2} = \frac{{2 \cdot s}}{a}\]und damit hier wegen \(s_1 = 2 \cdot s_2\)\[t_1^2 = t_2^2 \Leftrightarrow \frac{{2 \cdot {s_1}}}{{{a_1}}} = \frac{{2 \cdot {s_2}}}{{{a_2}}}\underbrace \Leftrightarrow _{{s_1} = 2 \cdot {s_2}}\frac{{2 \cdot 2 \cdot {s_2}}}{{{a_1}}} = \frac{{2 \cdot {s_2}}}{{{a_2}}} \Leftrightarrow {a_1} = 2 \cdot {a_2}\]Aus dem 3. Bewegungsgesetz der gleichmäßig beschleunigten Bewegung ergibt sich allgemein\[{v^2} = 2 \cdot s \cdot a \Rightarrow v = \sqrt {2 \cdot s \cdot a} \]und damit hier wegen \(s_1 = 2 \cdot s_2\) und \(a_1 = 2 \cdot a_2\)\[{v_1} = \sqrt {2 \cdot {s_1} \cdot {a_1}} = \sqrt {2 \cdot 2 \cdot {s_2} \cdot 2 \cdot {a_2}} = 2 \cdot \sqrt {2 \cdot {s_2} \cdot {a_2}} = 2 \cdot {v_2}\]
b)Wir stellen die Energieverhältnisse in den Situationen 1 und 2 in einer Energietabelle dar. Die potentielle Energie von Körper 2 beziehen wir auf den Boden, die von Körper 1 auf seine Anfangshöhe.
Der Energieerhaltungssatz sagt nun, dass die Gesamtenergie in Situation 1 genau so groß ist wie die Gesamtenergie in Situation 2. Damit ergibt sich\[\begin{eqnarray}960\,{\rm{J}} &=& 480\,\rm{J} + \frac{1}{2} \cdot 12\,{\rm{kg}} \cdot {v_1^2} + \frac{1}{2} \cdot 48\,{\rm{kg}} \cdot {v_2^2}\\480\,{\rm{J}} &=& 6\,{\rm{kg}} \cdot {v_1^2} + 24\,{\rm{kg}} \cdot {v_2^2}\end{eqnarray}\]Mit der Beziehung \({v_1} = 2 \cdot {v_2}\) aus Aufgabenteil a) ergibt sich dann\[480\,{\rm{J }} = 6\,{\rm{kg}} \cdot {\left( {2 \cdot {v_2}} \right)^2} + 24\,{\rm{kg}} \cdot v_2^2 = 24\,{\rm{kg}} \cdot v_2^2 + 24\,{\rm{kg}} \cdot v_2^2 = 48\,{\rm{kg}} \cdot v_2^2\]und damit\[{v_2} = \sqrt {\frac{{480\,{\rm{J}}}}{{48\, {\rm{kg}}}}} = 3{,}2\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]und daraus\[{v_1} = 2 \cdot {v_2} \Rightarrow {v_1} = 2 \cdot 3{,}2\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 6{,}4\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]
c)Wir stellen die Energieverhältnisse in den Situationen 1 und 2 wieder in einer Energietabelle dar, nutzen aber nur Variablen. Die potentielle Energie von Körper 2 beziehen wir auf den Boden, die von Körper 1 auf seine Unterlage.
