Kern-/Teilchenphysik

Teilchenphysik

Kopplungsparameter

  • Was ist der Unterschied zwischen Teilchen …
  • … und ihren Antiteilchen?
  • Welche fundamentalen Wechselwirkungen kennen wir?
  • Wie sieht das Standardmodell der Elementarteilchen aus?

Kopplungsparameter

Ob ein Teilchen überhaupt von einer Wechselwirkung beeinflusst wird entscheidet seine Ladung. Wie stark ein Teilchen von einer Wechselwirkung beeinflusst wird und auch wie wahrscheinlich eine solche Wechselwirkung überhaupt ist, hängt vom sogenannten Kopplungsparameter ab.

Zu jeder heute bekannten fundamentalen Wechselwirkung gehört ein universeller Kopplungsparameter \(\alpha \). Es gibt demnach die vier Kopplungsparameter \({\alpha _{\rm{S}}}\) für die starke Wechselwirkung, \({\alpha _{\rm{W}}}\) für die schwache Wechselwirkung, \({\alpha _{{\rm{em}}}}\) für die elektromagnetische Wechselwirkung und \({\alpha _{{\rm{grav}}}}\) für die Gravitationswechselwirkung.

Der Kopplungsparameter ist charakteristisch für die jeweilige Wechselwirkung und ein Maß für ihre „Stärke“, also z. B. dafür, wie groß die Kraft auf die Teilchen ist, die der Wechselwirkung unterliegen. Der Kopplungsparameter wird auch „Kopplungskonstante“ genannt. Wir bevorzugen allerdings den Begriff Kopplungsparameter, weil \(\alpha \) bei allen fundamentalen Wechselwirkungen leicht (logarithmisch) vom Abstand der wechselwirkenden Teilchen abhängt und somit nicht wirklich konstant ist.

Jeder Kopplungsparameter \(\alpha \) ist über die Beziehung \(\alpha  = \frac{{{g^2}}}{{4 \cdot \pi }}\) mit einer sogenannten Kopplungsstärke \(g\) verknüpft, die ebenfalls ein Maß für die „Stärke“ der jeweiligen Wechselwirkung ist.

Die Definition der Kopplungsparameter ist so gewählt, dass sich die "Stärken" der vier fundamentalen Wechselwirkungen unter geeigneten Bedingungen über die Kopplungsparameter vergleichen lassen. Diese Definition ist deshalb möglich, weil die vier fundamentale Wechselwirkungen, genauer die Terme der potenziellen Energie \({{E_{{\rm{pot}}}}\left( r \right)}\) zwischen zwei wechselwirkenden Teilchen, bei sehr kleinen Äbständen (\(r < 0,001{\rm{fm}}\)) eine ähnliche mathematische Struktur aufweisen. Diese lautet\[\left| {{E_{{\rm{pot}}}}\left( r \right)} \right| = \hbar  \cdot c \cdot \alpha  \cdot \frac{{{\rm{const.}}}}{r}\]Dabei ist \(\hbar  = \frac{h}{{2 \cdot \pi }}\), \(c\) die Lichtgeschwindigkeit und \(\alpha \) der jeweilige Kopplungsparameter. Die Konstante im Zähler des Bruches ist jeweils von den Teilchen abhängig, die der entsprechenden Wechselwirkung unterliegen, der Kopplungsparameter dagegen nicht.

Die jeweiligen Berechnungen der Kopplungsparameter für die verschiedenen Wechselwirkungen findest du in den folgenden Abschnitten.

Kopplungsparameter der starken Wechselwirkung

Berechnungen innerhalb der „Theorie der starken Wechselwirkung“ (Quanten-Chromo-Dynamik (QCD)) zeigen, dass sich die potenzielle Energie \({E_{{\rm{pot,S}}}}\) der starken Wechselwirkung in Abhängigkeit vom Abstand \(r\) wie folgt verändert:\[{E_{{\rm{pot,S}}}}\left( r \right) = \hbar  \cdot c \cdot {\alpha _{\rm{S}}} \cdot \frac{{{{\vec C}_1} \cdot {{\vec C}_2}}}{r} + k \cdot r\;\;\;\;^1\]Dabei steht \({{{\vec C}_1} \cdot {{\vec C}_2}}\) symbolisch für das Skalarprodukt der starken Ladungen, das in spezieller Weise nach Regeln der Quantenmechanik ausgewertet werden muss. Mit \(k = 930\frac{{{\rm{MeV}}}}{{{\rm{fm}}}}\) tritt neben \({\alpha _{\rm{S}}}\) ein zweiter charakteristischer Parameter für die starke Wechselwirkung auf. Aufgrund des linear mit \(r\) wachsenden zweiten Summanden wird die potenzielle Energie für sich vergrößernde Abstände linear größer.

Bei sehr kleinen Äbständen dagegen überwiegt wegen \(\mathop {\lim }\limits_{r \to 0} \left( {k \cdot r} \right) = 0\) der erste Summand gegenüber dem zweiten sehr stark, so dass man näherungsweise erhält\[{E_{{\rm{pot,S}}}}\left( r \right) = \hbar  \cdot c \cdot {\alpha _{\rm{S}}} \cdot \frac{{{{\vec C}_1} \cdot {{\vec C}_2}}}{r} \]

Für die Wechselwirkung zwischen einem Quark und einem Anti-Quark, deren starke Ladungen sich zu Null addieren, ergibt sich \({{\vec C}_1} \cdot {{\vec C}_2} =  - \frac{4}{3}\). Damit erhält man, ähnlich wie bei entgegengesetzt elektrisch geladenen Teilchen, für die potenzielle Energie\[{E_{{\rm{pot,S}}}}\left( r \right) =  - \hbar  \cdot c \cdot {\alpha _{\rm{S}}} \cdot \frac{{\frac{4}{3}}}{r}\]Die Größe des Kopplungsparameters verändert sich nun bei der starken Wechselwirkung mit dem Abstand der beteiligten Teilchen. Sie liegt nun – je nach Abstand der Quarks – bei Werten im Bereich von \({\alpha _{\rm{S}}}\left( {0,001{\rm{fm}}} \right) \approx \frac{1}{{10}}\) bis zu \({\alpha _{\rm{S}}}\left( {0,2{\rm{fm}}} \right) \approx \frac{1}{2}\). Bei Vergrößerung des Abstands jenseits von \({0,2{\rm{fm}}}\) ist der Kopplungsparameter nicht mehr genau berechenbar, bleibt jedoch wohl ungefähr konstant.

1 Die angegebene Gleichung für die potenzielle Energie gilt prinzipiell nur für Teilchen, die eine Farbladung besitzen. Der lineare Term \(k \cdot r\) in der Gleichung der potenziellen Energie ist an die Existenz von Farbladungen gekoppelt, bleibt also im Falle von farbneutralen Teilchen nicht als farbladungsunabhängiger Term stehen.

Kopplungsparameter der schwachen Wechselwirkung

Berechnungen zeigen, dass sich die potenzielle Energie \({E_{{\rm{pot,W}}}}\) der schwachen Wechselwirkung in Abhängigkeit vom Abstand \(r\) wie folgt verändert:\[{E_{{\rm{pot}},{\rm{W}}}}\left( r \right) = \hbar  \cdot c \cdot {\alpha _{\rm{W}}} \cdot \frac{{{I_1} \cdot {I_2}}}{r} \cdot {e^{ - \frac{r}{{{\lambda _{\rm{W}}}}}}}\]Dabei stehen \(I_1\) und  \(I_2\) für die schwachen Ladungen der beteilgten Teilchen1. Mit \({\lambda _{\rm{W}}} = 0,002{\rm{fm}}\) tritt neben \({\alpha _{\rm{W}}}\) ein zweiter charakteristischer Parameter für die schwache Wechselwirkung auf. Aufgrund des exponentiell mit \(r\) abfallenden zweiten Faktors strebt die potenzielle Energie für sich vergrößernde Abstände sehr schnell gegen Null.

Bei sehr kleinen Äbständen dagegen hat der zweite Faktor wegen \(\mathop {\lim }\limits_{r \to 0} \left( {{e^{ - \frac{r}{{{\lambda _{\rm{W}}}}}}}} \right) = 1\) fast den Wert \(1\), so dass man näherungsweise erhält\[{E_{{\rm{pot,W}}}}\left( r \right) = \hbar  \cdot c \cdot {\alpha _{\rm{W}}} \cdot \frac{{{I_1} \cdot {I_2}}}{r} \]

Für den Kopplungsparameter erhält man den teilchenunabhängigen Wert \({\alpha _{\rm{W}}} \approx \frac{1}{{30}}\).

1 Die schwache Ladung (auch: schwache Isospinladung) besitzt wie die Farbladung ebenfalls einen Vektorcharakter. Dabei hat die schwache Ladung eine ähnliche Struktur wie der Spin: Von ihren drei Komponenten \(\left( {{I^{(1)}},{I^{(2)}},{I^{(3)}}} \right)\) ist quantenmechanisch nur eine festgelegt. Hierfür wird üblicherweise die Komponente \({{I^{(3)}}}\) gewählt, die wir als schwache Ladungszahl \(I\) bezeichnen. Für das Produkt zweier schwacher Ladungen schreiben wir auch nur kurz \({{I_1} \cdot {I_2}}\), obwohl dieses Produkt eigentlich quantenmechanisch als Skalarprodukt \({{\vec I}_1} \cdot {{\vec I}_2}\) ausgewertet werden muss.

Kopplungsparameter der elektromagnetischen Wechselwirkung \(\alpha _{{\rm{em}}}\)

Aus der Elektrizitätslehre weißt du, dass sich die potenzielle Energie \({E_{{\rm{pot,em}}}}\) der elektromagnetischen Wechselwirkung umgekehrt proportional zu ihrem Abstand \(r\) wie folgt verändert:\[{E_{{\rm{pot,em}}}}\left( r \right) = \frac{1}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{{Q_1} \cdot {Q_2}}}{r}\]Dabei ist \({\varepsilon _0} = 8,85 \cdot {10^{ - 12}}\frac{{{\rm{As}}}}{{{\rm{Vm}}}}\) die elektrische Feldkonstante, \({{Q_1}}\) und \({{Q_2}}\) sind die (klassischen) elektrischen Ladungen  der beiden Teilchen.

Die elektrische Ladung eines Teilchens ist - wie du im MILLIKAN-Versuch gesehen hast - stets ein Vielfaches der Elementarladung \(e\)1. Diese Erkenntnis drücken wir mathematisch aus durch die Gleichung \(Q = Z \cdot e\) mit der elektrische Ladungszahl \(Z\), die eine charakteristische Teilcheneigenschaft ist. Somit erhält man\[{E_{{\rm{pot,em}}}}\left( r \right) = \frac{1}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{{Q_1} \cdot {Q_2}}}{r} = \frac{{{e^2}}}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{{Z_1} \cdot {Z_2}}}{r}\]Erweitern wir den ersten Bruche mit \(\hbar  \cdot c\), so erhalten wir\[{E_{{\rm{pot,em}}}}\left( r \right) = \hbar  \cdot c \cdot \frac{{{e^2}}}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0} \cdot \hbar  \cdot c}} \cdot \frac{{{Z_1} \cdot {Z_2}}}{r} = \hbar  \cdot c \cdot {\alpha _{{\rm{em}}}} \cdot \frac{{{Z_1} \cdot {Z_2}}}{r}\]mit\[{\alpha _{{\rm{em}}}} = \frac{{{e^2}}}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0} \cdot \hbar  \cdot c}} = \frac{1}{{137,0359991}} \approx \frac{1}{{137}}\]Da das Produkt \(\hbar  \cdot c\) multipliziert mit \(\frac{1}{r}\) bereits die richtige Einheit (\(\rm{MeV}\)) für die potenzielle Energie liefert, ist die neu definierte Größe \(\alpha _{{\rm{em}}}\) eine einfache Zahl ohne Einheit; sie ist der gesuchte elektromagnetische Kopplungsparameter. Sie ist eine der wichtigsten und am genauesten gemessenen Zahlen in unserem Universum, und es haben sich schon sehr viele Forscher (bisher vergeblich) ihre Köpfe zerbrochen, warum sie gerade diesen Wert hat.

1 Der Begriff „Elementarladung“ ist aus heutiger Sicht unglücklich gewählt, da mittlerweile Elementarteilchen entdeckt wurden (die Quarks), deren elektrische Ladungen betragsmäßig kleiner sind als \(e\).

Kopplungsparameter der Gravitation

Aus der Mechanik weißt du, dass sich die potenzielle Energie \({E_{{\rm{pot,grav}}}}\) der gravitativen Wechselwirkung (Gravitation) in Abhängigkeit vom Abstand \(r\) wie folgt verändert:\[{E_{{\rm{pot,grav}}}}\left( r \right) =  - G \cdot \frac{{{m_1} \cdot {m_2}}}{r}\]Dabei ist \(G = 6,67 \cdot {10^{ - 11}}\frac{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{\rm{kg}} \cdot {{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\) die Gravitationskonstante, \({{m_1}}\) und \({{m_2}}\) sind die Massen der beiden Teilchen.

Im Gegensatz zur Elementarladung \(e\) bei der elektromagnetischen Wechselwirkung gibt es bei der gravitativen Wechselwirkung keine „Elementarmasse“ für die Definition einer „Massenzahl“. Deshalb kann man nicht allgemein das Produkt \({{m_1} \cdot {m_2}}\) der beiden Massen in ein Produkt einheitenloser „Massenzahlen“ und einheitenbehafteter „Elementarmassen“ umformen. Folglich kann man bei der gravitativen Wechselwirkung auch keinen "teilchenunabhängigen" Kopplungsparameter bestimmen.

Es ist aber möglich, für bestimmte, in der Teilchenphysik vorkommende Teilchenkombinationen, z.B. für ein Proton und ein Elektron im Wasserstoffatom, einen speziellen Kopplungsparameter \(\alpha _{{\rm{grav}}}^{{\rm{p - }}{{\rm{e}}^ - }}\) zu bestimmen. Man setzt formal \({m_{\rm{p}}} = 1 \cdot {m_{\rm{p}}}\) und \({m_{{{\rm{e}}^ - }}} = 1 \cdot {m_{{{\rm{e}}^ - }}}\) und erhält\[{E_{{\rm{pot}}{\rm{,p - }}{{\rm{e}}^ - }}}\left( r \right) = - G \cdot \frac{{{m_{\rm{p}}} \cdot {m_{{{\rm{e}}^ - }}}}}{r} = - G \cdot {m_{\rm{p}}} \cdot {m_{{{\rm{e}}^ - }}} \cdot \frac{{1 \cdot 1}}{r}\]Erweitern wir den ersten Bruche mit \(\hbar  \cdot c\), so erhalten wir\[{E_{{\rm{pot}}{\rm{,p - }}{{\rm{e}}^ - }}}\left( r \right) = - \hbar \cdot c \cdot \frac{{G \cdot {m_{\rm{p}}} \cdot {m_{{{\rm{e}}^ - }}}}}{{\hbar \cdot c}} \cdot \frac{{1 \cdot 1}}{r} = - \hbar \cdot c \cdot \alpha _{{\rm{grav}}}^{{\rm{p - }}{{\rm{e}}^ - }} \cdot \frac{1}{r}\]mit\[\alpha _{{\rm{grav}}}^{{\rm{p - }}{{\rm{e}}^ - }} = \frac{{G \cdot {m_{\rm{p}}} \cdot {m_{{{\rm{e}}^ - }}}}}{{\hbar \cdot c}} \approx \frac{1}{{3 \cdot {{10}^{41}}}}\]Da das Produkt \(\hbar \cdot c\) multipliziert mit \(\frac{1}{r}\) bereits die richtige Einheit (\(\rm{MeV}\)) für die potenzielle Energie liefert, ist die neu definierte Größe \(\alpha _{{\rm{grav}}}^{{\rm{p - }}{{\rm{e}}^ - }}\) eine einfache Zahl ohne Einheit; sie ist der gesuchte gravitative Kopplungsparameter (für Proton und Elektron).

Analog erhält man für die "Teilchenkombination" Proton-Proton den gravitativen Kopplungsparameter (für Proton und Proton)\[\alpha _{{\rm{grav}}}^{{\rm{p - p}}} = \frac{{G \cdot {m_{\rm{p}}} \cdot {m_{\rm{p}}}}}{{\hbar \cdot c}} \approx \frac{1}{{2 \cdot {{10}^{38}}}}\]und für die "Teilchenkombination" Elektron-Elektron den gravitativen Kopplungsparameter (für Elektron und Elektron)\[\alpha _{{\rm{grav}}}^{{{\rm{e}}^ - }{\rm{ - }}{{\rm{e}}^ - }} = \frac{{G \cdot {m_{{{\rm{e}}^ - }}} \cdot {m_{{{\rm{e}}^ - }}}}}{{\hbar  \cdot c}} \approx \frac{1}{{6 \cdot {{10}^{44}}}}\]Die Berechnung weiterer spezieller gravitativer Kopplungsparameter zeigt, dass die gravitativen Kopplungsparameter ungefähr zwischen \(\frac{1}{{{{10}^{45}}}}\) und \(\frac{1}{{{{10}^{38}}}}\) liegen.

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