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Grundwissen

FEYNMAN-Diagramme

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Richard P. FEYNMAN (1919 - 1988)
Copyright Tamiko Thiel 1984 (OTRS communication from photographer) [CC-BY-SA-3.0],
via Wikimedia Commons

Die auf den amerikanischen Nobelpreisträger Richard P. FEYNMAN (1919 - 1988) zurückgehenden sogenannten FEYNMAN-Diagramme ermöglichen die übersichtliche Darstellung von Wechselwirkungsprozessen und stellen auch den Ausgangspunkt für Berechnungen an den dargestellten Wechselwirkungen dar (FEYNMAN-Kalkül). Im Folgenden werden einige Regeln für das Aufstellen dieser Diagramme zusammengestellt und an einfachen Beispielen erläutert.

Die FEYNMAN-Diagramme sind schematische Zeit-Ort-Diagramme von Teilchen, sie stellen also nicht die Bahnkurve der Teilchen dar. Die Zeitachse läuft von links nach rechts, die Ortsachse von unten nach oben. Hinweis: In manchen Darstellungen werden Zeit- und Ortsachse vertauscht.

Fast immer besteht das FEYNMAN-Diagramm aus äußeren Linien, welche reale, nachweisbare (Materie-)Teilchen symbolisieren und inneren Linien, welche sogenannte virtuelle, (Boten-)Teilchen darstellen, die bei der Wechselwirkung so kurzzeitig entstehen, dass sie nicht direkt messbar sind.

Folgende Symbole finden bei FEYNMAN-Diagrammen Verwendung:

Materieteilchen Symbol
Teilchen (z.B. \(\rm{e^-}\))
Anti-Teilchen (z.B. \(\rm{e^+}\))
Botenteilchen Symbol
Photon (\({\rm{\gamma }}\)-Quant), \({{\rm{W}}^ + }\), \({{\rm{W}}^ - }\) und \({{\rm{Z}}}\)
Gluon (g)

 

Anti-Teilchen werden symbolisch durch einen Pfeil entgegen der zeitlichen Bewegungsrichtung  dargestellt, was aber nicht bedeutet, dass sie in der Zeit rückwärts laufen.

Vertices

Die drei fundamentalen Wechselwirkungen des Standardmodells werden auf der Ebene der Elementarteilchen durch den Austausch von Botenteilchen beschrieben. Das umfasst die anziehenden und die abstoßenden Kräfte, die Umwandlung von Teilchen sowie die Erzeugung und Vernichtung von Teilchen. All diese Phänomene können durch verschiedene FEYNMAN-Diagramme (\(t\)-\(x\)-Diagramm) beschrieben werden, die auf vier FEYNMAN-Diagramm-Grundbausteinen basieren, die im Folgenden näher erläutert werden. Diese Grundbausteine beschreiben eine Wechselwirkung eines Anti-/Materieteilchens mit einem einzigen Botenteilchen zu einer bestimmten Zeit an einem bestimmten Ort. Bei jedem dieser Bausteine handelt es sich um einen Vertex, an dem sich drei Linien treffen, wobei jeweils genau eine Botenteilchen-Linie vorhanden ist. Deshalb werden die Grundbausteine im Folgenden allgemein als Vertices (Singular: Vertex) bezeichnet.

Emission eines Botenteilchens

Joachim Herz Stiftung
Abb. 2 Vertex der Emission eines Botenteilchens durch ein Materieteilchen

Ein Materie- oder Anti-Materieteilchen kann spontan ein Botenteilchen emittieren, wenn es eine zu dem Botenteilchen, d. h. zu der zugehörigen Wechselwirkung, gehörende Ladung besitzt. Dabei kann eine Umwandlung des Materieteilchens stattfinden. Das FEYNMAN-Diagramm, das solch eine Emission beschreibt, ist in Abb. 2 dargestellt. Der Ort der Emission ist der Punkt, an dem sich die drei Teilchenlinien treffen. Je nachdem, welche Ladungen das Materieteilchen besitzt, kann es sich bei dem Botenteilchen entweder um ein Photon, ein W-Teilchen, ein Z-Teilchen oder ein Gluon handeln. An einem solchen Vertex sind jeweils zwei Materieteilchen beteiligt, die sich bezüglich der entsprechenden Wechselwirkung in einem gemeinsamen Multiplett befinden1. Da sich bei der Emission des Botenteilchens die Energie und der Impuls des Materie/Anti-Materieteilchens geändert haben, bewegt sich in der Regel das Materieteilchen in einer anderen Richtung weiter. Im Falle masseloser Botenteilchen, also Photonen oder Gluonen, müssen bei einem physikalisch vollständigen Prozess weitere Teilchen an einem zweiten Vertex entstehen oder absorbiert werden2, da sonst Energie- und Impuls-Erhaltung nicht gleichzeitig erfüllt werden können. Bei solchen Prozessen entstehen in den vollständigen Diagrammen „innere Linien“, die so genannte "virtuelle Teilchen" darstellen. Diese Bemerkung gilt gleichermaßen für alle folgenden Diagramme.

1 Sofern es sich um ein Singulett handelt, sind die am Vertex beteiligten Materieteilchen identisch, da keine Umwandlung stattfinden kann.

2 Beispielsweise kann wie bei der Comptonstreuung \({{\rm{e}}^ - } + \gamma  \to {{\rm{e}}^ - } + \gamma \) ein weiteres Botenteilchen absorbiert werden.

Absorption eines Botenteilchens

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Abb. 3 Vertex der Absorption eines Botenteilchens durch ein Materieteilchen

Ebenso ist es möglich, dass ein geladenes Materie- oder Anti-Materieteilchen ein Botenteilchen absorbiert, wobei ebenfalls eine Umwandlung stattfinden kann. Das FEYNMAN-Diagramm, das solch eine Absorption beschreibt, ist in Abb. 3 dargestellt. Auch hier bewegt sich das Anti-/Materieteilchen anschließend in der Regel in eine andere Richtung weiter, da sich bei der Absorption des Botenteilchens die Energie und der Impuls des Anti-/Materieteilchens geändert haben. An einem solchen Vertex sind ebenfalls jeweils zwei Anti-/Materieteilchen beteiligt, die sich in einem gemeinsamen Multiplett befinden.

Paarvernichtung

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Abb. 4 Vertex der Paarvernichtung eines Materieteilchens (obere Linie) und eines Anti-Materieteilchens (untere Linie)

Neben der Emission und der Absorption eines Botenteilchens durch ein Anti-/Materieteilchen ist es ebenfalls möglich, dass sich ein Teilchen und ein Anti-Teilchen gegenseitig auslöschen, wobei ein Botenteilchen entsteht. Diesen Prozess nennt man Paarvernichtung. Das zugehörige FEYNMAN-Diagramm ist in Abb. 4 dargestellt.

Paarerzeugung

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Abb. 5 Vertex der Paarerzeugung eines geladenen Teilchens (obere Linie) und eines geladenen Anti-Teilchens (untere Linie) aus einem Botenteilchen

Der zur Paarvernichtung entgegengesetzte Prozess ist die sogenannte Paarerzeugung. Dabei wandelt sich ein Botenteilchen in ein Teilchen und ein Anti-Teilchen um. Das zu diesem Prozess gehörende FEYNMAN-Diagramm ist in Abb. 5 dargestellt3.

3 Sofern es sich um Prozesse der elektromagnetischen oder der starken Wechselwirkung handelt, müssen in einem vollständigen physikalischen Prozess bei Paarvernichtungen und Paarerzeugungen stets zwei Botenteilchen beteiligt sein, da sonst, je nach Bezugssystem, entweder die Energie- oder die Impulserhaltung verletzt wäre. Dies ist eine Folge der Tatsache, dass Photonen und Gluonen masselose Botenteilchen sind. Das zweite Botenteilchen wird bei der Paarvernichtung von einem der beiden annihilierenden Materieteilchen emittiert. Es entstehen dabei also stets zwei Botenteilchen. Bei der Paarerzeugung wird das zweite Botenteilchen von einem der beiden entstehenden Materieteilchen absorbiert oder emittiert. Ein Vertex der Paarvernichtung tritt also immer nur in Kombination mit einem Vertex der Botenteilchen-Emission auf, der Paarerzeugungs-Vertex hingegen stets nur in Kombination mit einem Vertex der Botenteilchen-Absorption oder -Emission.

Die vier in Abb. 2 bis Abb. 5 dargestellten Vertices gehen auseinander hervor, indem man die Teilchenlinien wie die Zeiger einer Uhr um den Teilchentreffpunkt dreht: Das FEYNMAN-Diagramm der Botenteilchen-Absorption (Abb. 3) erhält man beispielsweise aus dem Feynman-Diagramm der Botenteilchen-Emission (Abb. 2), indem man die Linie des Botenteilchens entgegen dem Uhrzeigersinn nach links dreht. Das FEYNMAN-Diagramm der Paarvernichtung (Abb. 4) erhält man aus dem FEYNMAN-Diagramm der Botenteilchen-Emission (Abb. 5), indem man die Linie des auslaufenden Materieteilchens im Uhrzeigersinn auf die linke Seite dreht. Auf diese Weise wird aus dem auslaufenden Materieteilchen ein einlaufendes Anti-Materieteilchen, da durch diese Drehung die Pfeilrichtung umgekehrt wurde4. Das Drehen der Linien der Vertices ist nichts anderes als die Visualisierung der Umformung von Umwandlungsgleichungen. Dies bedeutet, dass man aus dem Vertex eines aufgrund der Ladungserhaltung erlaubten Prozesses durch Rotation der Linien stets weitere erlaubte Prozesse ableiten kann. Dabei sind an einem Vertex der Botenteilchen-Emission und der Botenteilchen-Absorption jeweils Anti-/Materieteilchen aus einem gemeinsamen Multiplett vorhanden. Für die Vertices der Paarerzeugung und der Paarvernichtung folgt daraus, dass dabei jeweils ein Materieteilchen und ein zu einem Materieteilchen desselben Multipletts gehöriges Anti-Materieteilchen beteiligt sind.

4 Die Anti-/Teilchen, die vor der Wechselwirkung vorhanden sind, werden auch als im FEYNMAN-Diagramm einlaufende Anti-/Teilchen bezeichnet. Die nach der Wechselwirkung vorhandenen Anti-/Teilchen nennt man entsprechend auslaufende Anti-/Teilchen.

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Abb. 6 Elektromagnetische Wechselwirkung (COULOMB-Streuung) zwischen zwei geladenen Elementarteilchen durch den Austausch eines Photons und das zugehörige FEYNMAN-Diagramm

Die obige Animation zeigt dir die Vermittlung der elektromagnetischen Wechselwirkung (COULOMB-Streuung) bei der Abstoßung zweier Elektronen in einer Animation (links) und in einem FEYNMAN-Diagramm (rechts). Hinweise zur Animation: 1. Die Darstellung der Teilchen in der Animation spiegelt nicht deren Größenverhältnisse in der Wirklichkeit wieder. 2. Es hängt vom Beobachter ab, ob das Photon von oben nach unten oder von unten nach oben fliegt, weil die beiden Vertices "ortsartig" sind, dh. man weiss, dass sie an unterschiedlichen Orten sind, man kann aber nicht sagen, welcher zeitlich vor dem anderen ist.