a)
| Mögliche Kombination |
Gesamtladung |
Nukleon |
| u u u |
\[\frac{2}{3}e + \frac{2}{3}e + \frac{2}{3}e = 2 \cdot e\] |
|
| u u d |
\[\frac{2}{3}e + \frac{2}{3}e - \frac{1}{3}e = e\] |
Proton |
| u d d |
\[\frac{2}{3}e - \frac{1}{3}e - \frac{1}{3}e = 0\] |
Neutron |
| d d d |
\[ - \frac{1}{3}e - \frac{1}{3}e - \frac{1}{3}e = - e\] |
|
b)Eine Struktur kann von Geschossen nur sinnvoll untersucht werden, wenn die De-Broglie-Wellenlänge der Geschosse kleiner oder gleich der linearen Abmessung der Struktur ist.
Damit die Struktur von Nukleonen mit Elektronen sinnvoll untersucht werden kann, muss die De-Broglie-Wellenlänge der Elektronen kleiner als \(3 \cdot {10^{ - 15}}\,{\rm{m}}\) sein. Für die De-Broglie-Wellenlänge gilt \[{\lambda _{{\rm{dB}}}} = \frac{h}{p}\quad(1)\] Für den (relativistisch korrekten) Impuls gilt \[{E^2} = {E_0}^2 + {p^2} \cdot {c^2} \Rightarrow p = \frac{{\sqrt {{E^2} - {E_0}^2} }}{c}\quad(2)\] Setzt man \((2)\) in \((1)\) und bedenkt man, dass die Gesamtenergie \(E\) die Summe aus Ruheenergie \({{E_0}}\) und kinetischer Energie \({{E_{{\rm{kin}}}}}\) ist, so gilt
\[{\lambda _{{\rm{dB}}}} = \frac{{h \cdot c}}{{\sqrt {{E^2} - {E_0}^2} }} = \frac{{h \cdot c}}{{\sqrt {\left( {E - {E_0}} \right) \cdot \left( {E + {E_0}} \right)} }} = \frac{{h \cdot c}}{{\sqrt {{E_{{\rm{kin}}}} \cdot \left( {2 \cdot {E_0} + {E_{{\rm{kin}}}}} \right)} }}\] woraus sich folgende Bedingung ergibt: \[\frac{{h \cdot c}}{{\sqrt {{E_{{\rm{kin}}}} \cdot \left( {2 \cdot {E_0} + {E_{{\rm{kin}}}}} \right)} }} \le 3 \cdot {10^{ - 15}}\,{\rm{m}}\] Statt diese Ungleichung zu lösen, kommt man schneller ans Ziel, wenn man in die Beziehung für die De-Broglie-Wellenlänge die gegebene kinetische Energie von \(0{,}4\,{\rm{GeV}}\) einsetzt: \[{\lambda _{{\rm{dB}}}} = \frac{{6{,}63 \cdot {{10}^{ - 34}}\,{\rm{Js}} \cdot 2{,}99 \cdot {{10}^8}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{\sqrt {0{,}4 \cdot {{10}^9} \cdot 1{,}602 \cdot {{10}^{ - 19}}\,{\rm{J}} \cdot \left( {2 \cdot 0{,}511 \cdot {{10}^6} + 0{,}4 \cdot {{10}^9}} \right) \cdot 1{,}602 \cdot {{10}^{ - 19}}\,{\rm{J}}} }} = 3 \cdot {10^{ - 15}}\,{\rm{m}}\] Würde man die kinetische Energie noch größer als \(0{,}4{\rm{GeV}}\) machen, so wäre aufgrund der Struktur des obigen Ausdrucks die De-Broglie-Wellenlänge noch kürzer, so dass sich Informationen über die innere Struktur der Nukleonen gewinnen lassen.
