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Aufgabe

Quarks und das Standardmodell (Abitur BY 2003 LK A4-3)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Murray GELL-MANN beschrieb 1964, wie man sich die Nukleonen und viele weitere damals bekannte "Elementarteilchen" aus noch kleineren, elementaren Bausteinen, den sogenannten Quarks, aufgebaut denken kann. Eine Grundannahme war, dass Quarks Drittel der Elementarladung tragen. Heute kennt man sechs verschiedene Quarks; in gewöhnlicher Materie kommen jedoch nur Up-Quarks mit der Ladung \(+ \frac{2}{3} e \) und Down-Quarks mit \(- \frac{1}{3} e \) vor. Es ist eine besondere Eigenschaft der starken Wechselwirkung, dass Quarks nur in Dreiergruppen auftreten. Anti-Teilchen bleiben hier unberücksichtigt.

a)Gib alle möglichen Dreiergruppen an, die man aus Up-Quarks und Down-Quarks bilden kann.

Zeige, dass sich Proton und Neutron jeweils eindeutig einer solchen Dreiergruppe zuordnen lassen. (5 BE)

b)Die Existenz von Quarks in Nukleonen (Durchmesser etwa \(3 \cdot {10^{ - 15}}\,{\rm{m}}\)) wurde u.a. durch Streuexperimente mit Elektronen an Hochenergiebeschleunigern nachgewiesen.

Zeige, dass sich Informationen über den inneren Aufbau von Nukleonen mit Elektronen nur gewinnen lassen, wenn deren kinetische Energie etwa \(0{,}4\,\rm{GeV}\) übersteigt. (8 BE)

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a) 

Mögliche Kombination Gesamtladung Nukleon
u u u \[\frac{2}{3}e + \frac{2}{3}e + \frac{2}{3}e = 2 \cdot e\]  
u u d \[\frac{2}{3}e + \frac{2}{3}e - \frac{1}{3}e = e\] Proton
u d d \[\frac{2}{3}e - \frac{1}{3}e - \frac{1}{3}e = 0\] Neutron
d d d \[ - \frac{1}{3}e - \frac{1}{3}e - \frac{1}{3}e =  - e\]  

b)Eine Struktur kann von Geschossen nur sinnvoll untersucht werden, wenn die De-Broglie-Wellenlänge der Geschosse kleiner oder gleich der linearen Abmessung der Struktur ist.

Damit die Struktur von Nukleonen mit Elektronen sinnvoll untersucht werden kann, muss die De-Broglie-Wellenlänge der Elektronen kleiner als \(3 \cdot {10^{ - 15}}\,{\rm{m}}\) sein. Für die De-Broglie-Wellenlänge gilt \[{\lambda _{{\rm{dB}}}} = \frac{h}{p}\quad(1)\] Für den (relativistisch korrekten) Impuls gilt \[{E^2} = {E_0}^2 + {p^2} \cdot {c^2} \Rightarrow p = \frac{{\sqrt {{E^2} - {E_0}^2} }}{c}\quad(2)\] Setzt man \((2)\) in \((1)\) und bedenkt man, dass die Gesamtenergie \(E\) die Summe aus Ruheenergie \({{E_0}}\) und kinetischer Energie \({{E_{{\rm{kin}}}}}\) ist, so gilt
\[{\lambda _{{\rm{dB}}}} = \frac{{h \cdot c}}{{\sqrt {{E^2} - {E_0}^2} }} = \frac{{h \cdot c}}{{\sqrt {\left( {E - {E_0}} \right) \cdot \left( {E + {E_0}} \right)} }} = \frac{{h \cdot c}}{{\sqrt {{E_{{\rm{kin}}}} \cdot \left( {2 \cdot {E_0} + {E_{{\rm{kin}}}}} \right)} }}\] woraus sich folgende Bedingung ergibt: \[\frac{{h \cdot c}}{{\sqrt {{E_{{\rm{kin}}}} \cdot \left( {2 \cdot {E_0} + {E_{{\rm{kin}}}}} \right)} }} \le 3 \cdot {10^{ - 15}}\,{\rm{m}}\] Statt diese Ungleichung zu lösen, kommt man schneller ans Ziel, wenn man in die Beziehung für die De-Broglie-Wellenlänge die gegebene kinetische Energie von \(0{,}4\,{\rm{GeV}}\) einsetzt: \[{\lambda _{{\rm{dB}}}} = \frac{{6{,}63 \cdot {{10}^{ - 34}}\,{\rm{Js}} \cdot 2{,}99 \cdot {{10}^8}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{\sqrt {0{,}4 \cdot {{10}^9} \cdot 1{,}602 \cdot {{10}^{ - 19}}\,{\rm{J}} \cdot \left( {2 \cdot 0{,}511 \cdot {{10}^6} + 0{,}4 \cdot {{10}^9}} \right) \cdot 1{,}602 \cdot {{10}^{ - 19}}\,{\rm{J}}} }} = 3 \cdot {10^{ - 15}}\,{\rm{m}}\] Würde man die kinetische Energie noch größer als \(0{,}4{\rm{GeV}}\) machen, so wäre aufgrund der Struktur des obigen Ausdrucks die De-Broglie-Wellenlänge noch kürzer, so dass sich Informationen über die innere Struktur der Nukleonen gewinnen lassen.