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Aufgabe

Beta-Plus-Zerfall

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

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Abb. 1 \(\beta^+\)-Umwandlung ("\(\beta^+\)-Zerfall") aus Sicht der Teilchenphysik: Ein Up-Quark wandelt sich unter Aussendung eines \(\rm{W^+}\) in ein Down-Quark um, das \(\rm{W^+}\) zerfällt in ein Positron und ein Elektron-Neutrino

Der Beta-Plus-Zerfall ist ein radioaktiver Zerfallstyp von Atomkernen. Die Animation in Abb. 1 zeigt schematisch den Beta-Plus-Zerfall im Standardmodell der Teilchenphysik.

a)Beschreibe den Beta-Plus-Zerfall in Worten.

b)Fertige ein FEYNMAN-Diagramm des Beta-Plus-Zerfalls an.

c)Erstelle eine Zerfallsgleichung des Beta-Plus-Zerfalls.

d)Weise rechnerisch nach, dass während des gesamten Beta-Plus-Zerfalls alle Ladungen erhalten bleiben.

e)Ein typischer Beta-Plus-Zerfall ist der von \({}_{19}^{40}{\rm{K}}\) in \({}_{18}^{40}{\rm{Ar}}\).

Berechne, welche Energie beim Beta-Plus-Zerfall von \({}_{19}^{40}{\rm{K}}\) mindestens freigesetzt wird. Nutze die Daten \({m_{\rm{A}}}\left( {{}_{19}^{40}{\rm{K}}} \right) = 39{,}963998\,{\rm{u}}\) und \({m_{\rm{A}}}\left( {{}_{18}^{40}{\rm{Ar}}} \right) = 39{,}962383\,{\rm{u}}\).

Hinweis: Die hier angegebenen Atommassen wurden der AME2016 des AMDC-Atomic Mass Data Center entnommen.

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a)In einem Proton, dass aus zwei Up-Quarks und einem Down-Quark besteht, wandelt sich ein Up-Quark unter Aussendung eines \(\rm{W^+}\)-Teilchens in ein Down-Quark um. Dadurch wird aus dem Proton ein Neutron. Das \(\rm{W^+}\)-Teilchen zerfällt noch innerhalb des Neutrons in ein Positron und ein Elektron-Neutrino, die dann das Neutron und anschließend den Atomkern verlassen.

Joachim Herz Stiftung
Abb. 2 FEYNMAN-Diagramm des Beta-Plus-Zerfalls

b) 

c)Möglich ist die Zerfallsgleichung \({\rm{u}} \to {\rm{d}} + {{\rm{W}}^+} \to {\rm{d}} + {{\rm{e}}^+} + {{\nu }_{\rm{e}}}\) oder \({\rm{p}} \to {\rm{n}} + {{\rm{e}}^+} + {{\nu }_{\rm{e}}}\).

d)Starke Ladung:\[\begin{array}{*{20}{l}}{\begin{array}{*{20}{l}}{{{\vec C}_{{\rm{vorher}}}} = {{\vec C}_{\rm{p}}} = \vec 0}\\{{{\vec C}_{{\rm{zwischen}}}} = {{\vec C}_{\rm{n}}} + {{\vec C}_{{{\rm{W}}^ + }}} = \vec 0 + \vec 0 = \vec 0}\end{array}}\\{{{\vec C}_{{\rm{nachher}}}} = {{\vec C}_{\rm{n}}} + {{\vec C}_{{e^ + }}} + {{\vec C}_{{\nu _{\rm{e}}}}} = \vec 0 + \vec 0 + \vec 0 = \vec 0}\end{array}\]Schwache Ladung:\[\begin{array}{*{20}{l}}{\begin{array}{*{20}{l}}{{I_{{\rm{vorher}}}} = 2 \cdot {I_{\rm{u}}} + {I_{\rm{d}}} = 2 \cdot \left( { + \frac{1}{2}} \right) + \left( { - \frac{1}{2}} \right) =  + \frac{1}{2}}\\{{I_{{\rm{zwischen}}}} = {I_{\rm{u}}} + 2 \cdot {I_{\rm{d}}} + {I_{{{\rm{W}}^ + }}} = \left( { + \frac{1}{2}} \right) + 2 \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) + \left( { + 1} \right) =  + \frac{1}{2}}\end{array}}\\{{I_{{\rm{nachher}}}} = {I_{\rm{u}}} + 2 \cdot {I_{\rm{d}}} + {I_{{e^ + }}} + {I_{{\nu _{\rm{e}}}}} = \left( { + \frac{1}{2}} \right) + 2 \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) + \left( { + \frac{1}{2}} \right) + \left( { + \frac{1}{2}} \right) =  + \frac{1}{2}}\end{array}\]Elektrische Ladung:\[\begin{array}{*{20}{l}}{\begin{array}{*{20}{l}}{{Z_{{\rm{vorher}}}} = 2 \cdot {Z_{\rm{u}}} + {Z_{\rm{d}}} = 2 \cdot \left( { + \frac{2}{3}} \right) + \left( { - \frac{1}{3}} \right) =  + 1}\\{{Z_{{\rm{zwischen}}}} = {Z_{\rm{u}}} + 2 \cdot {Z_{\rm{d}}} + {Z_{{{\rm{W}}^ + }}} = \left( { + \frac{2}{3}} \right) + 2 \cdot \left( { - \frac{1}{3}} \right) + \left( { + 1} \right) =  + 1}\end{array}}\\{{Z_{{\rm{nachher}}}} = {Z_{\rm{u}}} + 2 \cdot {Z_{\rm{d}}} + {Z_{{e^ + }}} + {Z_{{\nu _{\rm{e}}}}} = \left( { + \frac{2}{3}} \right) + 2 \cdot \left( { - \frac{1}{3}} \right) + \left( { + 1} \right) + 0 =  + 1}\end{array}\]

e)Die frei werdende Energie berechnet sich durch\[\begin{eqnarray}\Delta E &=& \Delta m \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {{m_{\rm{A}}}\left( {{}_{19}^{40}{\rm{K}}} \right) - \left( {{m_{\rm{A}}}\left( {{}_{18}^{40}{\rm{Ar}}} \right) + {m_{\rm{e}}}} \right)} \right] \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {{m_{\rm{A}}}\left( {{}_{19}^{40}{\rm{K}}} \right) - {m_{\rm{A}}}\left( {{}_{18}^{40}{\rm{Ar}}} \right) - {m_{\rm{e}}}} \right] \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {39{,}963998\,{\rm{u}} - 39{,}962383\,{\rm{u}} - 0{,}000548\,{\rm{u}}} \right] \cdot {c^2}\\ &=& 0{,}001067 \cdot {\rm{u}} \cdot {c^2}\\ &=& 0{,}001067 \cdot 931{,}49\,{\rm{MeV}}\\ &=& 0{,}9939\,{\rm{MeV}}\end{eqnarray}\]Bemerkung: Da sich die Energie, die beim Beta-Plus-Zerfall frei wird, nicht auf zwei, sondern auf drei Teilchen (Atomkern, Positron und Elektron-Neutrino) verteilt, sind die Energien der einzelnen Teilchen nicht festlegt.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Kern-/Teilchenphysik

Teilchenphysik