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Aufgabe

Beta-Minus-Zerfall

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

HTML5-Canvas nicht unterstützt!
Abb. 1 \(\beta^-\)-Umwandlung ("\(\beta^-\)-Zerfall") aus Sicht der Teilchenphysik: Ein Down-Quark wandelt sich unter Aussendung eines \(\rm{W^-}\) in ein Up-Quark um, das \(\rm{W^-}\) zerfällt in ein Elektron und ein Anti-Elektron-Neutrino

Der Beta-Minus-Zerfall ist ein radioaktiver Zerfallstyp von Atomkernen. Die Animation in Abb. 1 zeigt schematisch den Beta-Minus-Zerfall im Standardmodell der Teilchenphysik.

a)Beschreibe den Beta-Minus-Zerfall in Worten.

b)Fertige ein FEYNMAN-Diagramm des Beta-Minus-Zerfalls an.

c)Erstelle eine Zerfallsgleichung des Beta-Minus-Zerfalls.

d)Weise rechnerisch nach, dass während des gesamten Beta-Minus-Zerfalls alle Ladungen erhalten bleiben.

e)Ein typischer Beta-Minus-Zerfall ist der von \({}_{79}^{198}{\rm{Au}}\) in \({}_{80}^{198}{\rm{Hg}}\).

Berechne, welche Energie beim Beta-Minus-Zerfall von \({}_{79}^{198}{\rm{Au}}\) mindestens freigesetzt wird. Nutze die Daten \({m_{\rm{A}}}\left( {{}_{79}^{198}{\rm{Au}}} \right) = 197{,}968244\,{\rm{u}}\) und \({m_{\rm{A}}}\left( {{}_{80}^{198}{\rm{Hg}}} \right) = 197{,}966769\,{\rm{u}}\).

Hinweis: Die hier angegebenen Atommassen wurden der AME2016 des AMDC-Atomic Mass Data Center entnommen.

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a)In einem Neutron, dass aus einem Up-Quark und zwei Down-Quarks besteht, wandelt sich ein Down-Quark unter Aussendung eines \(\rm{W^-}\)-Teilchens in ein Up-Quark um. Dadurch wird aus dem Neutron ein Proton. Das \(\rm{W^-}\)-Teilchen zerfällt noch innerhalb des Protons in ein Elektron und ein Anti-Elektron-Neutrino, die dann das Proton und anschließend den Atomkern verlassen.

 

Joachim Herz Stiftung
Abb. 2 FEYNMAN-Diagramm des Beta-Minus-Zerfalls

b)

c)Möglich ist die Zerfallsgleichung \({\rm{d}} \to {\rm{u}} + {{\rm{W}}^ - } \to {\rm{u}} + {{\rm{e}}^ - } + {{\bar \nu }_{\rm{e}}}\) oder \({\rm{n}} \to {\rm{p}} + {{\rm{e}}^ - } + {{\bar \nu }_{\rm{e}}}\).

d)Starke Ladung:\[\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}{{\vec C}_{{\rm{vorher}}}} = {{\vec C}_{\rm{n}}} = \vec 0\\{{\vec C}_{{\rm{zwischen}}}} = {{\vec C}_{\rm{p}}} + {{\vec C}_{{{\rm{W}}^ - }}} = \vec 0 + \vec 0 = \vec 0\end{array}\\{{{\vec C}_{{\rm{nachher}}}} = {{\vec C}_{\rm{p}}} + {{\vec C}_{{e^ - }}} + {{\vec C}_{{{\bar \nu }_{\rm{e}}}}} = \vec 0 + \vec 0 + \vec 0 = \vec 0}\end{array}\]Schwache Ladung:\[\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}{I_{{\rm{vorher}}}} = {I_{\rm{u}}} + 2 \cdot {I_{\rm{d}}} = \left( { + \frac{1}{2}} \right) + 2 \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) =  - \frac{1}{2}\\{I_{{\rm{zwischen}}}} = 2 \cdot {I_{\rm{u}}} + {I_{\rm{d}}} + {I_{{{\rm{W}}^ - }}} = 2 \cdot \left( { + \frac{1}{2}} \right) + \left( { - \frac{1}{2}} \right) + \left( { - 1} \right) =  - \frac{1}{2}\end{array}\\{{I_{{\rm{nachher}}}} = 2 \cdot {I_{\rm{u}}} + {I_{\rm{d}}} + {I_{{e^ - }}} + {I_{{{\bar \nu }_{\rm{e}}}}} = 2 \cdot \left( { + \frac{1}{2}} \right) + \left( { - \frac{1}{2}} \right) + \left( { - \frac{1}{2}} \right) + \left( { - \frac{1}{2}} \right) =  - \frac{1}{2}}\end{array}\]Elektrische Ladung:\[\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}{Z_{{\rm{vorher}}}} = {Z_{\rm{u}}} + 2 \cdot {Z_{\rm{d}}} = \left( { + \frac{2}{3}} \right) + 2 \cdot \left( { - \frac{1}{3}} \right) = 0\\{Z_{{\rm{zwischen}}}} = 2 \cdot {Z_{\rm{u}}} + {Z_{\rm{d}}} + {Z_{{{\rm{W}}^ - }}} = 2 \cdot \left( { + \frac{2}{3}} \right) + \left( { - \frac{1}{3}} \right) + \left( { - 1} \right) = 0\end{array}\\{{Z_{{\rm{nachher}}}} = 2 \cdot {Z_{\rm{u}}} + {Z_{\rm{d}}} + {Z_{{e^ - }}} + {Z_{{{\bar \nu }_{\rm{e}}}}} = 2 \cdot \left( { + \frac{2}{3}} \right) + \left( { - \frac{1}{3}} \right) + \left( { - 1} \right) + 0 = 0}\end{array}\]

e)Die frei werdende Energie berechnet sich durch\[\begin{eqnarray}\Delta E &=& \Delta m \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {{m_{\rm{A}}}\left( {{}_{79}^{198}{\rm{Au}}} \right) - \left( {{m_{\rm{A}}}\left( {{}_{80}^{198}{\rm{Hg}}} \right) + {m_{\rm{e}}}} \right)} \right] \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {{m_{\rm{A}}}\left( {_{92}^{235}{\rm{U}}} \right) - {m_{\rm{A}}}\left( {{}_{80}^{198}{\rm{Hg}}} \right) - {m_{\rm{e}}}} \right] \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {197{,}968244\,{\rm{u}} - 197{,}966769\,{\rm{u}} - 0{,}000548\,{\rm{u}}} \right] \cdot {c^2}\\ &=& 0{,}000927 \cdot {\rm{u}} \cdot {c^2}\\ &=& 0{,}000927 \cdot 931{,}49\,{\rm{MeV}}\\ &=& 0{,}863\,{\rm{MeV}}\end{eqnarray}\]Bemerkung: Da sich die Energie, die beim Beta-Minus-Zerfall frei wird, nicht auf zwei, sondern auf drei Teilchen (Atomkern, Elektron und Anti-Elektron-Neutrino) verteilt, sind die Energien der einzelnen Teilchen nicht festlegt.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Kern-/Teilchenphysik

Teilchenphysik