Der \(\beta^+\)-Zerfall kommt nur bei künstlich erzeugten Nukliden vor. In der Nuklidkarte sind Kerne mit \(\beta^+\)-Aktivität rot markiert.
Möglichkeiten zur Berechnung des \(Q\)-Wertes
Für die Berechnung des \(Q\)-Wertes sind zwei Betrachtungsweisen möglich:
- Man geht von den Kernmassen aus.
- Man geht von den Atommassen aus.
Die experimentelle Bestimmung von Kernmassen ist auch mit modernster Technik kaum möglich. Die Bestimmung von Atommassen dagegen gelingt sehr genau mit Hilfe von Massenspektrometern, bei denen man durch die Ablenkung von z.B. einfach ionisierten Atomen in elektrischen und magnetischen Feldern deren spezifische Ladung bestimmt. Deshalb wird der \(Q\)-Bestimmung über die Atommassen größere Bedeutung zukommen, da man über die Atommassen eine sehr genaue Kenntnis besitzt.
Beide Wege im Vergleich
| Überlegung mit Kernen | Überlegung mit Atomen | |
|---|---|---|
| Reaktion |
Im Mutterkern \(\rm{X}\) wandelt sich ein Proton in ein Neutron um. Dabei werden ein Positron \(\rm{e}^+\) (Antiteilchen des Elektrons) und ein Elektron-Neutrino \(\nu _{\rm{e}}\) emittiert. Der Tochterkern \(\rm{X}\) besitzt also ein Neutron mehr und ein Proton weniger als der Mutterkern. |
Diese beiden Reaktionsgleichungen kann man - aber nur formal - zu einer zusammenfassen. |
| Reaktions-gleichung | \[{}_Z^A{\rm{X}}\to{}_{Z - 1}^A{\rm{Y}} + {}_1^0{{\rm{e}}^ + } + {}_0^0{\nu _{\rm{e}}}\] | \[{}_Z^A{\rm{X}}\to{}_{Z - 1}^A{\rm{Y}} + {}_1^0{{\rm{e}}^+}+{}_{ - 1}^0{{\rm{e}}^ - } + {}_0^0{\nu _{\rm{e}}}\]Vorsicht, nur formal! |
| Q-Wert |
Berechnung des \(Q\)-Werts\[\begin{eqnarray}{Q_{{\beta ^ + },{\rm{K}}}} &=& \left[ {{m_{\rm{K}}}\left( {\rm{X}} \right) - \left( {m_{\rm{K}}\left( {\rm{Y}} \right) + m_{\rm{e}}} \right)} \right] \cdot {c^2}\\&=&\left[ {{m_{\rm{K}}}\left( {\rm{X}} \right) - {m_{\rm{K}}\left( {\rm{Y}} \right) - m_{\rm{e}}}} \right] \cdot c^2\end{eqnarray}\]Bemerkung: Die Ruhemasse des Elektron-Neutrinos ist so klein, dass sie vernachlässigt werden kann, die Ruhemasse des Positrons ist gleich der Ruhemasse des Elektrons. Nun ist die Bindungsenergie \(B_{\rm{e}}\left({\rm{X}} \right)\) der Hüllenelektronen des Mutteratoms größer als die Bindungsenergie \(B_{\rm{e}}\left({\rm{Y}} \right)\) der Hüllenelektronen des Tochteratoms. Zum "Umbau" der Atomhüllen wird die Energiedifferenz\[\Delta B_{\rm{e}} = B_{\rm{e}}\left( {\rm{Y}} \right) - B_{\rm{e}} \left( {\rm{X}} \right)\]benötigt. Diese Energiedifferenz muss von dem berechneten \(Q_{\beta^+ ,{\rm{K}}}\)-Wert subtrahiert werden, um die den Zerfallsprodukten letztendlich zur Verfügung stehende Energie \(Q\) zu berechnen:\[Q = {Q_{\beta^+ ,{\rm{K}}}} - \Delta {B_{\rm{e}}}\] |
Berechnung des \(Q\)-Werts\[\begin{eqnarray}Q=Q_{\rm{\beta ^ +,A}} &=& \left[ m_{\rm{A}}\left( \rm{X} \right) - \left( m_{\rm{A}}\left( \rm{Y} \right) + 2 \cdot m_{\rm{e}} \right) \right] \cdot c^2\\&=&\left[ m_{\rm{A}}\left( \rm{X} \right) - m_{\rm{A}}\left( \rm{Y} \right) - 2 \cdot m_{\rm{e}} \right] \cdot c^2\end{eqnarray}\]Bemerkung: Die Ruhemasse des Elektron-Neutrinos ist so klein, dass sie vernachlässigt werden kann, die Ruhemasse des Positrons ist gleich der Ruhemasse des Elektrons. |
| Energie-aufteilung |
Aufteilung der frei werdenden Energie nach dem Zerfall\[Q=E_{\rm{kin}}\left( \rm{e^+} \right)+E_{\rm{kin}}\left({\rm{\nu }}_{\rm{e}}\right)+ E_{\rm{kin}}\left( {\rm{Y}} \right)+E^*\left( {\rm{Y}} \right)+E_{\rm{Hülle}}^*\left( {\rm{Y}} \right)\]Dabei ist
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| Annihilation |
Das emittierte Positron zerstrahlt umgehend mit einem Elektron aus der Umgebung (Annihilation, Paarvernichtung) zu zwei \(\gamma\)-Quanten von je \(511{,}0\,\rm{keV}\). Diese Strahlungsenergie von \(2 \cdot 511{,}0\,\rm{keV}=1022{,}0\,\rm{keV}\) wird in vielen Datenbanken zum oben berechneten \(Q\)-Wert hinzugerechnet. Das bei der Paarvernichtung beteiligte Elektron stammt häufig aus der \(\rm{K}\)-Schale des Atoms. Wenn die dort entstehende Lücke durch ein Elektron aus einer anderen Schale gefüllt wird, entsteht zusätzlich charakteristische RÖNTGEN-Strahlung des Tochteratoms. |
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Hinweis
Der \(\beta^+\)-Zerfall steht in Konkurrenz zum EC-Prozess.
Beispiel: Beta-Plus-Zerfall von Na-22
| Überlegung mit Kernen | Überlegung mit Atomen | |
|---|---|---|
| Reaktions-gleichung | \[_{11}^{22}{\rm{Na}} \to _{10}^{22}{\rm{Ne}} + {}_{1}^{0}{\rm{e}^+} + {}_0^0{\nu _{\rm{e}}}\] | \[_{11}^{22}{\rm{Na}} \to _{10}^{22}{\rm{Ne}} + {}_1^0{{\rm{e}}^+}+{}_{ - 1}^0{{\rm{e}}^ - } + {}_0^0{\nu _{\rm{e}}}\]Vorsicht, nur formal! |
| Massen |
\(m_{\rm{K}}\left(_{11}^{22}{\rm{Na}}\right)=21{,}988407583\,\rm{u}\) \(m_{\rm{K}}\left(_{10}^{22}{\rm{Ne}}\right)=21{,}985902948\,\rm{u}\) \(m_{\rm{e}}=5{,}48580 \cdot 10^{-4}\,\rm{u}\) |
\(m_{\rm{A}}\left(_{11}^{22}{\rm{Na}}\right)=21{,}994437418\,\rm{u}\) \(m_{\rm{A}}\left(_{10}^{22}{\rm{Ne}}\right)=21{,}991385109\,\rm{u}\) \(m_{\rm{e}}=5{,}48580 \cdot 10^{-4}\,\rm{u}\) |
| Q-Wert |
\[\begin{eqnarray}Q_{\rm{\beta^+,K}} &=& \Delta m \cdot c^2\\ &=& \left[ m_{\rm{K}} \left( {_{11}^{22}{\rm{Na}}} \right) - \left( m_{\rm{K}} \left( {_{10}^{22}{\rm{Ne}}} \right) + m_{\rm{e}} \right) \right] \cdot c^2\\ &=& \left[ m_{\rm{K}} \left( {_{11}^{22}{\rm{Na}}} \right) - {m_{\rm{K}}}\left( {_{10}^{22}{\rm{Ne}}} \right) - m_{\rm{e}} \right] \cdot c^2\\ &=& \left[ 21{,}988407583\,\rm{u} - 21{,}985902948\,\rm{u} - 5{,}48580 \cdot 10^{-4}\,\rm{u} \right] \cdot {c^2}\\ &=& 0{,}001956055 \cdot {\rm{u}} \cdot {c^2}\\ &=& 0{,}001956055 \cdot 931{,}49\,{\rm{MeV}}\\ &=& 1822{,}0\,{\rm{keV}}\end{eqnarray}\]Hiervon muss die Differenz\[\begin{eqnarray}\Delta {B_{\rm{e}}} &=& {B_{\rm{e}}}\left( {_{11}^{22}{\rm{Na}}} \right) - {B_{\rm{e}}}\left( {_{10}^{22}{\rm{Ne}}} \right)\\ &=& 15{,}73\,{\rm{eV}} \cdot \left( {{{11}^{{\textstyle{7 \over 3}}}} - {{10}^{{\textstyle{7 \over 3}}}}} \right)\\ &=& 0{,}8\,{\rm{keV}}\end{eqnarray}\]der Bindungsenergien der Hüllenelektronen von \(_{11}^{22}{\rm{Na}}\) und \(_{10}^{22}{\rm{Ne}}\) subtrahiert werden, so dass nach dieser Rechnung eine Energie von \[Q=1822{,}0\,{\rm{keV}}-0{,}8\,{\rm{keV}}=1821{,}2\,{\rm{keV}}\]frei wird. |
\[\begin{eqnarray}Q=Q_{\rm{\beta^+,A}} &=& \Delta m \cdot c^2\\ &=& \left[ m_{\rm{A}} \left( {}_{11}^{22}{\rm{Na}} \right) - \left( \rm{m}_{\rm{A}} \left( {}_{10}^{22}{\rm{Ne}} \right) + 2 \cdot m_{\rm{e}} \right) \right] \cdot c^2\\ &=& \left[ m_{\rm{A}} \left( {}_{11}^{22}{\rm{Na}} \right) - \rm{m}_{\rm{A}} \left( {}_{10}^{22}{\rm{Ne}}\right) - 2 \cdot m_{\rm{e}^+} \right] \cdot c^2\\ &=&\left[ 21{,}994437418\,\rm{u} - 21{,}991385109\,\rm{u} - 2 \cdot 5{,}48580 \cdot 10^{-4}\,\rm{u} \right] \cdot c^2\\ &=& 0{,}001955158 \cdot {\rm{u}} \cdot c^2\\ &=& 0{,}001955158 \cdot 931{,}49\,\rm{MeV}\\ &=& 1821{,}2\,\rm{keV}\end{eqnarray}\] |
| Zusätzlich wird durch die Annihilation des Positrons und eines Elektrons eine Energie von \(2 \cdot 511{,}0\,\rm{keV}=1022{,}0\,\rm{keV}\) freigesetzt. | ||
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Energie-aufteilung |
Eine mögliche Aufteilung der frei werdenden Energie: \(E_{\rm{kin}}\left( \rm{e^+} \right)\) \(E_{\rm{kin}}\left({\rm{\nu }}_{\rm{e}}\right)\) \(E_{\rm{kin}}\left( {_{10}^{22}{\rm{Ne}}} \right)\) \(E^*\left({_{10}^{22}{\rm{Ne}}}\right)\) \(2 \cdot E_{\gamma}=2 \cdot 511{,}0\,\rm{keV}=1022{,}0\,\rm{keV}\) |
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Hinweis: Die hier angegebenen Atommassen wurden der AME2016 des AMDC-Atomic Mass Data Center entnommen. Die hier angegebenen Kernmassen wurden berechnet aus den Atommassen abzüglich der Masse der Elektronen zuzüglich der nach dem THOMAS-FERMI-Modell angenäherten Bindungsenergie der Elektronen.