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Grundwissen

Energiebilanz beim Beta-Plus-Zerfall

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Der β+-Zerfall kommt nur bei künstlich erzeugten Nukliden vor. In der Nuklidkarte sind Kerne mit β+-Aktivität rot markiert. Der β+-Zerfall steht in Konkurrenz zum EC-Prozess.

Für die Berechnung des Q-Wertes sind zwei Betrachtungsweisen möglich:

Man geht von den Kernmassen aus;

Man geht von den Atommassen aus.

Die Massenbestimmung schwerer Elemente gelingt sehr genau mit Hilfe von Massenspektrometern, bei denen man durch die Ablenkung von z.B. einfach ionisierten Atomen in elektrischen und magnetischen Feldern deren spezifische Ladung bestimmt. Bei hohen Ordnungszahlen treten "nackte" Kerne (also Kerne ohne jegliche Hüllenelektronen) so gut wie nicht auf. Deshalb wird der \(Q\)-Bestimmung über die Atommassen größere Bedeutung zukommen, da man über die Atommassen eine sehr genaue Kenntnis besitzt.

 

Überlegung mit Kernen

Überlegung mit Atomen

Reaktions-
gleichung

Im Mutterkern X wandelt sich ein Proton in ein Neutron unter Emission eines Positrons (Antiteilchen des Elektrons) und eines Neutrinos um. Der Tochterkern Y besitzt also ein Neutron mehr und ein Proton weniger als der Mutterkern\[{}_Z^A{\rm{X}}\;\begin{array}{*{20}{c}}{{{\rm{\beta }}^ + }}\\ \to \\{}\end{array}\;{}_{Z - 1}^A{\rm{Y}} + {}_1^0{{\rm{e}}^ + }\; + {}_0^0{\nu _{\rm{e}}}\]

Das neutrale Mutteratom wandelt sich unter Emission eines Positrons und eines Neutrinos in ein Tochteratom Y- um, das zunächst als einfach negatives Ion vorliegt (die Hülle bleibt zunächst unverändert, der Kern verliert aber ein Proton. Also ist gegenüber dem Neutralzustand in der Hülle ein Elektron zuviel)\[{}_Z^A{\rm{X}}\;\begin{array}{*{20}{c}}{{{\rm{\beta }}^ + }}\\ \to \\{}\end{array}\;{}_{Z - 1}^A{{\rm{Y}}^ - } + {}_1^0{{\rm{e}}^ + }\; + {}_0^0{\nu _{\rm{e}}}\]

Das negative Tochterion gibt an die Umgebung ein Elektron ab und wird zum neutralen Tochteratom Y\[{}_{Z - 1}^A{{\rm{Y}}^ - }\; \to \;{}_{Z - 1}^A{\rm{Y + }}{}_{ - 1}^0{{\rm{e}}^ - }\]

Diese beiden Reaktionsgleichungen kann man formal zu einer zusammenfassen, so dass sich ergibt\[{}_Z^A{\rm{X}}\;\begin{array}{*{20}{c}}{{{\rm{\beta }}^ + }}\\ \to \\{}\end{array}\;{}_{Z - 1}^A{\rm{Y}} + {}_1^0{{\rm{e}}^ + }\;{\rm{ + }}{}_{ - 1}^0{{\rm{e}}^ - } + {}_0^0{\nu _{\rm{e}}}\]

Q-Wert

Es wird angenommen, dass die Ruhemasse des Antineutrinos zu vernachlässigen ist.

Q-Wert mit Ruheenergien\[{Q_{{{\rm{\beta }}^ + }{\rm{,K}}}} = \left[ {{m_{\rm{K}}}\left( {\rm{X}} \right) - \left( {{m_{\rm{K}}}\left( {\rm{Y}} \right) + {m_{\rm{e}}}} \right)} \right] \cdot {c^2}\]Hinweis: Eigentlich wäre in obiger Gleichung die Ruhemasse des Positrons zu subtrahieren. Da Elektron und Positron die gleiche Ruhemasse besitzen, kann man auch eine Elektronenmasse subtrahieren.

Q-Wert mit kinetischen Energien und Anregungsenergie\[Q_{\rm{\beta^+,K}} = E_{\rm{kin,e^+}} + E_{\rm{kin,\nu }} + {E^*}\left( {\rm{Y}} \right) + E_{\rm{Rückstoß}}\left( \rm{Y} \right)\]

Es wird angenommen, dass die Ruhemasse des Antineutrinos zu vernachlässigen ist.

Q-Wert mit Ruheenergien\[{Q_{{{\rm{\beta }}^ + }{\rm{,A}}}} = \left[ {{m_{\rm{A}}}\left( {\rm{X}} \right) - \left( {{m_{\rm{A}}}\left( {\rm{Y}} \right) + 2 \cdot {m_{\rm{e}}}} \right)} \right] \cdot {c^2}\]Hinweis: Eigentlich wäre in obiger Gleichung die Ruhemasse des Positrons und die des Elektrons zu subtrahieren. Da beide Teilchen die gleiche Ruhemasse besitzen, kann man auch zwei Elektronenmassen subtrahieren.

Q-Wert mit kinetischen Energien und Anregungsenergie (*) \[{Q_{{{\rm{\beta }}^ + }{\rm{,A}}}} = {E_{{\rm{kin}}{\rm{,e^+}}}} + {E_{{\rm{kin}}{\rm{,}}\nu }} + {E^*}\left( {\rm{Y}} \right) + {E_{{\rm{Rückstoß}}}}\left( {\rm{Y}} \right) + \Delta {E_{{\rm{Bindung}}{\rm{,e}}}}\]

(*) Der berechnete \(Q\)-Wert enthält als Hauptbeiträge die kinetische Energie \({E_{{\rm{kin}}{\rm{,}}{{\rm{e}}^ + }}}\) des emittierten Positrons, die kinetische Energie \({E_{{\rm{kin}}{\rm{,}}\nu }}\) des Neutrinos und eine eventuelle Anregungsenergie \({E^*}\left( {\rm{Y}} \right)\) des Tochterkerns. Ferner die in der Regel zu vernachlässigende Rückstoßenergie \({E_{{\rm{Rückstoß}}}}\left( {\rm{Y}} \right)\) von Y sowie die Differenz \(\Delta {E_{{\rm{Bindung}},{\rm{e}}}}\) der Bindungsenergien der Hüllenelektronen in den Atomen X und Y.

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