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Aufgabe

Zerfallsgesetz - Formelumstellung

Schwierigkeitsgrad: leichte Aufgabe

a)

Das Kobaltisotop Co-60 ist ein \(\beta^-\)-Strahler mit der Halbwertszeit \(5{,}3\,\rm{a}\). Ein radioaktives Präparat enthält heute \(1{,}6 \cdot 10^{16}\) Atome dieses Isotops Co-60.

Berechne die Anzahl der Co-60 - Atome in dem Präparat in \(20\) Jahren.

b)

Für die Untersuchung der Schilddrüse nimmt ein Patient radioaktive Jodisotope I-131 ein. I-131 ist ein \(\beta^-\)-Strahler mit einer Halbwertszeit von \(8{,}0\,\rm{d}\). \(14\) Tage nach der Einnahme der Jodisotope misst man noch eine Aktivität von \(4{,}2\,\rm{MBq}\).

Berechne die Aktivität bei der Einnahme der Jodisotope.

c)

Des Radonisotop Ra-222 ist ein \(\alpha\)-Strahler. \(10\) Tage nach dem Beginn der Untersuchung eines Ra-222 - Präparates ist die Aktivität auf \(16\%\) der Anfangsaktivität gesunken.

Berechne die Halbwertszeit von Ra-222.

d)

Das Kohlenstoffisotop C-14 ist ein \(\beta^-\)-Strahler mit einer Halbwertszeit von \(5{,}7\cdot 10^3\,\rm{a}\). In einem radioaktiven Präparat sind noch \(57\%\) des ursprünglich vorhandenen C-14-Anteils vorhanden.

Berechne das Alter des Präparates.

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a)

Mit \(N_0=1{,}6 \cdot 10^{16}\), \(T_{1/2}=5{,}3\,\rm{a}\) und \(t=20\,\rm{a}\) nutzen wir das Zerfallsgesetz in der Form \((2^*)\) (vgl. das Grundwissen)\[N(t) = {N_0} \cdot {e^{ - \,\frac{{\ln \left( 2 \right)}}{{{T_{1/2}}}} \cdot t}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[N(20\,\rm{a}) = 1{,}6 \cdot 10^{16} \cdot {e^{ - \,\frac{{\ln \left( 2 \right)}}{5{,}3\,\rm{a}} \cdot 20\,\rm{a}}}=1{,}2 \cdot 10^{15}\]

b)

Mit \(A(14\,\rm{d})=4{,}2\,\rm{MBq}=4{,}2 \cdot 10^6\,\rm{Bq}\), \(T_{1/2}=8{,}0\,\rm{d}\) und \(t=14\,\rm{d}\) erhalten wir mit dem Aktivitätsgesetz in der Form \((4^*)\) (vgl. das Grundwissen)\[A(t) = {A_0} \cdot {e^{ - \, \frac{{\ln \left( 2 \right)}}{{{T_{1/2}}}} \cdot t}} \Leftrightarrow A_0 = A(t) \cdot {e^{\frac{{\ln \left( 2 \right)}}{{{T_{1/2}}}} \cdot t}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[A_0 = 4{,}2 \cdot 10^6\,\rm{Bq} \cdot e^{\frac{\ln \left( 2 \right)}{8{,}0\,\rm{d}} \cdot 14\,\rm{d}} = 14 \cdot 10^6\,\rm{Bq}\]

c)

Mit \(p\%(10\,\rm{d})=16\%\) und \(t=10\,\rm{d}\) erhalten wir mit dem Zerfallsgesetz in der Prozentform \((6^*)\) (vgl. das Grundwissen)\[\begin{eqnarray}p\% (t) &=& 100\%  \cdot {e^{ -\,\frac{{\ln \left( 2 \right)}}{{{T_{1/2}}}} \cdot t}}\\\frac{{p\% (t)}}{{100\% }} &=& {e^{ -\,\frac{{\ln \left( 2 \right)}}{{{T_{1/2}}}} \cdot t}}\\\ln \left( {\frac{{p\% (t)}}{{100\% }}} \right) &=&  -\,\frac{{\ln \left( 2 \right)}}{{{T_{1/2}}}} \cdot t\\{T_{1/2}} &=&  -\,\frac{{\ln \left( 2 \right)}}{{\ln \left( {\frac{{p\% (t)}}{{100\% }}} \right)}} \cdot t\end{eqnarray}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{T_{1/2}} =  -\,\frac{{\ln \left( 2 \right)}}{{\ln \left( {\frac{{16\% }}{{100\% }}} \right)}} \cdot 10\,{\rm{d}} = 3{,}8\,{\rm{d}}\]

d)

Mit \(p\%(t)=57\%\) und \(T_{1/2}=5{,}7\cdot 10^3\,\rm{a}\) erhalten wir mit dem Zerfallsgesetz in der Prozentform \((6^*)\) (vgl. das Grundwissen)\[\begin{eqnarray}p\% (t) &=& 100\%  \cdot {e^{ -\,\frac{{\ln \left( 2 \right)}}{{{T_{1/2}}}} \cdot t}}\\\frac{{p\% (t)}}{{100\% }} &=& {e^{ -\,\frac{{\ln \left( 2 \right)}}{{{T_{1/2}}}} \cdot t}}\\\ln \left( {\frac{{p\% (t)}}{{100\% }}} \right) &=&  -\,\frac{{\ln \left( 2 \right)}}{{{T_{1/2}}}} \cdot t\\t &=&  -\,\frac{{\ln \left( {\frac{{p\% (t)}}{{100\% }}} \right) \cdot {T_{1/2}}}}{{\ln \left( 2 \right)}}\end{eqnarray}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[t =  -\,\frac{{\ln \left( {\frac{{57\% (t)}}{{100\% }}} \right) \cdot 5{,}7 \cdot {{10}^3}\,{\rm{a}}}}{{\ln \left( 2 \right)}} = 4{,}6 \cdot {10^3}\,{\rm{a}}\]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Kern-/Teilchenphysik

Radioaktivität - Fortführung