Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.
a)Die mittlere Atommasse ergibt sich zu\[\bar m_{\rm{A}}=0{,}932581 \cdot 38{,}963706\rm{u} + 0{,}067302 \cdot 40{,}961825\rm{u} + 0{,}000117 \cdot 39{,}963998\rm{u} = 39{,}0983\rm{u} \]
b)Die Anzahl \(N_{\rm{K}}\) der in \(140\,\rm{g}\) Kalium vorhandenen \({}^{40}{\rm{K}}\)-Atome berechnet sich zu\[N_{\rm{K}} = \frac{{0{,}140{\rm{kg}}}}{{39{,}0983 \cdot 1{,}67 \cdot {{10}^{ - 27}}{\rm{kg}}}} = 2{,}14 \cdot {10^{24}}\]Damit ergibt sich die Anzahl \(N_{{}^{40}\rm{K}}\) der radioaktiven \({{}^{40}\rm{K}}\)-Atome zu\[{N_{^{40}{\rm{K}}}} = 0{,}000117 \cdot 2{,}14 \cdot {10^{24}} = 2{,}5 \cdot {10^{20}}\]Deren Aktivität beträgt dann wegen\[A = N \cdot \lambda = N \cdot \frac{{\ln \left( 2 \right)}}{{{T_{1/2}}}}\]\[A = 2{,}5 \cdot {10^{20}} \cdot \frac{{\ln \left( 2 \right)}}{{1{,}28 \cdot {{10}^9} \cdot 365 \cdot 24 \cdot 60 \cdot 60\,{\rm{s}}}} = 4300\,{\rm{Bq}}\]
c)Die Zerfallsgleichung für den K-Einfang lautet hier\[_{19}^{40}{\rm{K + }}_{ - 1}^0{{\rm{e}}^ - } \to _{18}^{40}{\rm{A}}{{\rm{r}}^*} + {\nu _{\rm{e}}}\]und anschließend\[{}_{18}^{40}{\rm{A}}{{\rm{r}}^*} \to {}_{18}^{40}{\rm{Ar}} + \gamma \]Im Kern reagiert ein Kernproton mit dem Hüllenelektron zu einem Neutron unter Abgabe eines Elektron-Neutrinos. Anschließend wird beim Übergang vom angeregten in den Grundzustand ein Gammaquant abgegeben. In der Atomhülle wird das "Loch" in der K-Schale unter Abgabe von charakteristischer Röntgenstrahlung wieder aus höheren Schalen aufgefüllt.
d)Zieht man von der beim Gesamtzerfall frei werden Energie\[\begin{eqnarray}\Delta E &=& \Delta m \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {{m_{\rm{A}}}\left( {_{19}^{40}{\rm{K}}} \right) - {m_{\rm{A}}}\left( {_{18}^{40}{\rm{Ar}}} \right)} \right] \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {39{,}963998{\rm{u}} - 39{,}962383{\rm{u}}} \right] \cdot {c^2}\\ &=& 0{,}001615 \cdot u \cdot {c^2}\\ &=& 0{,}001615 \cdot 931{,}49\,{\rm{MeV}}\\ &=& 1{,}504\,{\rm{MeV}}\end{eqnarray}\]die angegebene Energie des Gammaquants ab, so erhält man als Energie des Neutrinos\[{E_{{\nu _{\rm{e}}}}} = 1{,}504\,{\rm{MeV}} - 1{,}461{\rm{MeV}} = 0{,}043\,{\rm{MeV}} = 43\,{\rm{keV}}\]Der wirkliche Wert ist kleiner, da der Kern mit dem Rückstoß Energie aufnimmt und die Energie der charakteristischen Röntgenstrahlung, die beim Auffüllen der K-Schale des \(\rm{Ar}\) entsteht, bei der Berechnung von \(\Delta E\) nicht berücksichtigt wurde.
