a)\(\alpha \)-Zerfall:\[{}_{90}^{230}{\rm{Th}} \to {}_{88}^{226}{\rm{Ra}} + {}_2^4\alpha \]\({\beta ^ - }\)-Zerfall:\[{}_{87}^{226}{\rm{Fr}} \to {}_{88}^{226}{\rm{Ra}} + {}_{ - 1}^0{\rm{e}} + {}_0^0{{\bar \nu }_{\rm{e}}}\]Für die frei werdende Energie \(E\) ergibt sich\[\begin{eqnarray}E &=& \Delta m \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {{m_{\rm{A}}}\left( {_{90}^{230}{\rm{Th}}} \right) - \left( {{m_{\rm{A}}}\left( {_{88}^{226}{\rm{Ra}}} \right) + {m_{\rm{A}}}\left( {_2^4{\rm{He}}} \right)} \right)} \right] \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {{m_{\rm{A}}}\left( {_{90}^{230}{\rm{Th}}} \right) - {m_{\rm{A}}}\left( {_{88}^{226}{\rm{Ra}}} \right) - {m_{\rm{A}}}\left( {_2^4{\rm{He}}} \right)} \right] \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {230{,}033132\,{\rm{u}} - 226{,}025408\,{\rm{u}} - 4{,}002603\,{\rm{u}}} \right] \cdot {c^2}\\ &=& 0{,}005121 \cdot u \cdot {c^2}\\ &=& 0{,}005121 \cdot 931{,}49\,{\rm{MeV}}\\ &=& 4{,}77\,{\rm{MeV}}\end{eqnarray}\]
b)Berechnung der Zahl \(N\) der \({_{}^{226}{\rm{Ra}}}\)-Kerne in einem Gramm:\[N = \frac{{1{,}00 \cdot {{10}^{ - 3}}\,{\rm{kg}}}}{{226\,{\rm{u}}}} = \frac{{1{,}00 \cdot {{10}^{ - 3}}\,{\rm{kg}}}}{{226 \cdot 1{,}661 \cdot 1{0^{ - 27}}\,{\rm{kg}}}} = 2{,}66 \cdot {10^{21}}\]Für die Aktivität von \({_{}^{226}{\rm{Ra}}}\) mit der Halbwertszeit von \({{T_{1/2}} = 1{,}60 \cdot {{10}^3}\,{\rm{a}}}\) gilt\[A(t) = \lambda \cdot N\left( t \right) = \frac{{\ln \left( 2 \right)}}{{{T_{1/2}}}} \cdot N\left( t \right) \Rightarrow A(t) = \frac{{\ln \left( 2 \right)}}{{1{,}60 \cdot {{10}^3} \cdot 365 \cdot 24 \cdot 3600\,{\rm{s}}}} \cdot 2{,}66 \cdot 1{0^{21}} = 3{,}7 \cdot {10^{10}}\,\frac{{\rm{1}}}{{\rm{s}}}\]Somit gilt \(1\,\rm{Ci} = 3{,}7\cdot 10^{10}\,\rm{Bq}\).
c)\({_{}^{226}{\rm{Ra}}}\) ist ein \(\alpha \)-Strahler. \(\alpha \)-Teilchen werden in Luft nach wenigen Zentimetern absorbiert, so dass diese nicht beim \(60\,\rm{cm}\) entfernten Zinksulfidschirm ankommen werden. Erst nach der Evakuierung der gesamten Apparatur werden Lichtblitze am Schirm beobachtbar sein. Alternativ kann man den Abstand zwischen Probe und Schirm auf wenige Zentimeter verkürzen.
Es gibt aber noch zusätzliche Probleme:
Eine Fehlerquelle bei dem Versuch besteht darin, dass beim gleichzeitigen Auftreten mehrerer Lichtblitze diese als eine Leuchterscheinung gezählt werden. Deshalb darf die Aktivität der Probe nur sehr gering sein, da man sonst mit einer visuellen Zählung überfordert wäre.
Außerdem ist zu berücksichtigen, dass nicht alle von der Probe emittierten \(\alpha \)-Teilchen auf den Schirm treffen.
Auch Folgezerfälle von Radium könnten Lichtblitze erzeugen, was zu einer Verfälschung führen kann.
