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Aufgabe

EC-Prozess bei Kalium 40

Schwierigkeitsgrad: leichte Aufgabe

Joachim Herz Stiftung
Abb. 1 EC-Zerfallsschema von K-40

Kalium 40 (K-40) ist ein radioaktives Kaliumisotop, das in \(10{,}72\%\) aller Fälle mit einer Halbwertszeit von \(1{,}248 \cdot 10^9\,\rm{a}\) durch einen EC-Prozess zerfällt. Messungen dieses Zerfalls von K-40 liefern folgende Ergebnisse:

In \(0{,}05\%\) aller Fälle zerfällt K-40 in den Grundzustand von Argon 40 (Ar-40).

In \(10{,}67\%\) aller Fälle zerfällt K-40 in einen angeregten Zustand von Ar-40; das angeregte Ar-40-Atom geht unter Aussendung eines \(\gamma\)-Quants der Energie \(1460{,}8\,\rm{keV}\) in den Grundzustand über.

Außerdem kann RÖNTGEN-Strahlung von einigen \(\rm{keV}\) Energie beobachtet werden.

Das Zerfallsschema von K-40 ist in Abb. 1 dargestellt.

Die folgenden Teilaufgaben sollen typische Rechnungen beim EC-Prozess zeigen. Wir nutzen dazu folgende Werte: \({m_{\rm{A}}\left( {_{40}^{19}{\rm{K}}} \right) = 39{,}963998166\,\rm{u}}\) ; \({m_{\rm{A}}\left( {_{40}^{18}{\rm{Ar}}} \right) = 39{,}962383124\,\rm{u}}\).

 

 

a)

Gib die Reaktionsgleichung für diesen Zerfall von K-40 an.

b)

Berechne den \(Q\)-Wert mit Atommassen bei diesem Zerfall von K-40.

c)

Wenn das K-40 - Atom direkt in den Grundzustand von Ar-40 zerfällt, verlässt ein Elektron-Neutrino den Ar-40 - Kern.

Berechne die kinetische Energie dieses Elektron-Neutrinos. Berücksichtige dabei, dass das Ar-40 - Atom durch den Rückstoß sowohl Impuls als auch kinetische Energie übernehmen muss. Eine mögliche Anregung der Elektronenhülle des Ar-40 - Atoms soll vernachlässigt werden.

d)

Wenn der angeregte Ar-40 - Kern in den Grundzustand übergeht, verlässt ein \(\gamma\)-Quant den Ar-40 - Kern. Auch hierbei muss das Ar-40 - Atom durch den Rückstoß sowohl Impuls als auch kinetische Energie übernehmen.

Bestätige rechnerisch, dass bei Energiebetrachtungen diese kinetische (Rückstoß-)Energie vernachlässigt werden kann.

e)

Wenn der K-40 - Kern in den angeregten Zustand von Ar-40 zerfällt, verlässt ebenfalls ein Elektron-Neutrino den Ar-40 - Kern.

Gib begründet einen ungefähren Wert für die kinetische Energie dieses Elektron-Neutrinos an.

Lösung einblendenLösung verstecken Lösung einblendenLösung verstecken
a)

\[{}_{19}^{40}{\rm{K}}+{}_{ - 1}^0{\rm{e}^-} \to {}_{18}^{40}{\rm{Ar}} + {}_0^0{\nu _{\rm{e}}}\]

b)

\[\begin{eqnarray}Q&=& \Delta m \cdot c^2\\ &=& \left[ m_{\rm{A}} \left( {}_{19}^{40}{\rm{K}} \right) - \rm{m}_{\rm{A}} \left( {}_{18}^{40}{\rm{Ar}} \right)   \right] \cdot c^2\\ &=&\left[ 39{,}963998166\,\rm{u} - 39{,}962383124\,\rm{u} \right] \cdot c^2\\ &=& 0{,}001615042 \cdot {\rm{u}} \cdot c^2\\ &=& 0{,}001615042 \cdot 931{,}49\,{\rm{MeV}}\\&=& 1{,}5044\,\rm{MeV}\\ &=& 1504{,}4\,\rm{keV}\end{eqnarray}\]

c)

Im Ruhesystem des Ar-40 - Atoms ist der Gesamtimpuls vor dem Zerfall Null und muss aufgrund des Impulserhaltungssatzes nach dem Zerfall ebenfalls Null sein. Damit kann nach dem Zerfall nicht nur das Elektron-Neutrino \(\nu_{\rm{e}}\) Impuls und kinetische Energie haben, sondern auch das Ar-40 - Atom muss seinen Teil übernehmen.

Wir bezeichnen mit \(p_\nu\) den Impuls und mit \(E_\nu\) die kinetische Energie des Elektron-Neutrinos bzw. mit \(m_{\rm{Ar}}\) die Atommasse, mit \(p_{\rm{Ar}}\) den Impuls und mit \(E_{\rm{Ar}}\) die kinetische Energie des Ar-40 - Atoms nach dem Zerfall. Wir gehen von einer verschwindenden Ruhemasse des Elektron-Neutrinos aus, so dass für die kinetische Energie \(E_\nu\) gilt\[E_\nu  = p_\nu \cdot c \quad(1)\]

Aus dem Impulserhaltungssatz\[0 = p_\nu + p_{\rm{Ar}} \quad (\rm{IES})\]ergibt sich für den Impuls \(p_{\rm{Ar}}\)\[p_{\rm{Ar}} =  -p_\nu\quad(2)\]Gehen wir von einer frei werdenden Energie \(E=Q\) aus, dann  lautet der Energieerhaltungssatz\[Q = E_{\rm{Ar}} + E_\nu \quad({\rm{EES}})\]Mit den Beziehungen \((1)\) und \((2)\) erhalten wir\[Q\underbrace  = _{(1)}\frac{p_{\rm{Ar}}^2}{2 \cdot m_{\rm{Ar}}} + p_\nu \cdot c\underbrace  = _{(2)}\frac{\left(  - p_\nu  \right)^2}{2 \cdot m_{\rm{Ar}}} + p_\nu \cdot c = \frac{p_\nu ^2}{2 \cdot m_{\rm{Ar}}} + p_\nu \cdot c\]Bringen wir alle Größen auf die rechte Seite, so erhalten wir eine Quadratische Gleichung für die Größe  \(p_\nu\):\[0 = \frac{p_\nu ^2}{2 \cdot m_{\rm{Ar}}} + p_\nu \cdot c - Q\]Mit der Lösungsformel für Quadratische Gleichungen erhalten wir als physikalisch sinnvolle Lösung für den Impuls \(p_\nu\)\[p_{\nu} = m_{\rm{Ar}} \cdot \left( { - c + \sqrt {{c^2} + \frac{2 \cdot Q}{m_{\rm{Ar}}}} } \right)\]Mit \(m_{\rm{Ar}} = 39{,}964\,\rm{u} = 6{,}6360 \cdot 10^{-26}\,\rm{kg}\) und \(Q=1504{,}4\,\rm{keV}=2{,}4103 \cdot 10^{-13}\,\rm{J}\) liefert das Einsetzen der gegebenen Werte\[p_{\nu} = 6{,}6360 \cdot 10^{-26}\,\rm{kg} \cdot \left( { - 2{,}9979 \cdot 10^8\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}} + \sqrt {{{\left( {2{,}9979 \cdot 10^8\frac{\rm{m}}{\rm{s}}} \right)}^2} + \frac{2 \cdot 2{,}4103 \cdot 10^{-13}\,\rm{J}}{6{,}6360 \cdot 10^{-26}\,\rm{kg}}} } \right) = 1{,}4042 \cdot 10^{-22}\,\frac{\rm{kg}\,\rm{m}}{\rm{s}}\]Mit der Beziehung \((1)\) ergibt sich damit für die kinetische Energie \(E_\nu\)\[E_\nu = 8{,}0400 \cdot 10^{-22}\,\frac{\rm{kg}\,\rm{m}}{\rm{s}} \cdot 2{,}9979 \cdot {10^8}\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}} = 2{,}4103 \cdot 10^{-13}\,{\rm{J}} = 1504{,}37\,{\rm{keV}}\]Damit trägt das Elektron-Neutrino praktisch die gesamte Energie, die beim Zerfall frei wird, als kinetische Energie mit sich.

d)

Im Ruhesystem des Ar-40 - Atoms ist der Gesamtimpuls vor dem Zerfall Null und muss aufgrund des Impulserhaltungssatzes nach dem Zerfall ebenfalls Null sein. Damit kann nach dem Zerfall nicht nur das \(\gamma\)-Quant Impuls, Geschwindigkeit und damit kinetische Energie haben, sondern auch das Ar-40 - Atom muss seinen Teil übernehmen.

Wir bezeichnen mit \(p_{\gamma}\) den Impuls und mit \(E_{\gamma}\) die Energie des \(\gamma\)-Quants bzw. mit \(p_{\rm{Ar}}\) den Impuls und mit \(E_{\rm{kin,Ar}}\) die kinetische Energie des Ar-40 - Atoms nach dem Aussenden des \(\gamma\)-Quants.

Für den Impuls \(p_{\gamma}\) gilt\[p_{\gamma}=\frac{E_{\gamma}}{c}\]Aus dem Impulserhaltungssatz\[0 = p_{\rm{Ar}} + p_{\gamma} \quad (\rm{IES})\]ergibt sich für den Impuls \(p_{\rm{Ar}}\)\[p_{\rm{Ar}}=-\frac{E_{\gamma}}{c}\quad(1)\]Für die kinetische Energie \(E_{\rm{kin,Ar}}\) gilt\[E_{\rm{kin,Ar}}=\frac{p_{\rm{Ar}}^2}{2 \cdot m_{\rm{Ar}}}\]und mit \((1)\)\[{E_{{\rm{kin,Ar}}}} = \frac{{{{\left( { - \frac{{{E_\gamma }}}{c}} \right)}^2}}}{{2 \cdot {m_{{\rm{Ar}}}}}} = \frac{{{E_\gamma }^2}}{{2 \cdot {m_{{\rm{Ar}}}} \cdot {c^2}}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[\begin{eqnarray}{E_{{\rm{kin,Ar}}}} &=& \frac{{{{\left( 1460{,}8\,\rm{keV} \right)}^2}}}{{2 \cdot 39{,}962383124\,\rm{u} \cdot {{\left( {2{,}9979 \cdot {{10}^8}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}}}\\ &=& \frac{{1460{,}8 \cdot 10^3 \cdot 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,{\rm{J}} \cdot 1460{,}8 \cdot 10^3\,{\rm{eV}}}}{{2 \cdot 39{,}962383124 \cdot 1{,}661 \cdot 10^{-27}\,{\rm{kg}} \cdot {{\left( {2{,}9979 \cdot {{10}^8}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}}}\\ &=& 28{,}7\,{\rm{eV}}\end{eqnarray}\]Diese Energie in der Größenordnung von einigen \(\rm{eV}\) kann gegenüber den Energien im \(\rm{keV}\)-Bereich vernachlässigt werden.

e)

Die insgesamt frei werdende Energie \(Q\) teilt sich auf in

  • \(E_{\rm{kin,\nu_{\rm{e}}}}\) die kinetische Energie des emittierten Elektron-Neutrinos
  • \(E_{\rm{kin,Ar,\nu_{\rm{e}}}}\) die kinetische (Rückstoß-)Energie des Ar-40 - Atoms durch die Emission des Elektron-Neutrinos.
  • \(E_{\gamma}\) die Energie des ausgesandten \(\gamma\)-Quants.
  • \(E_{\rm{kin,Ar,\gamma}}\) die kinetische (Rückstoß-)Energie des Ar-40 - Atoms durch die Emission des \(\gamma\)-Quants.
  • \(E_{\rm{e}}^*\left( {\rm{Ar}} \right)\) die Anregungsenergie der Elektronenhülle des Ar-40 - Atoms

Nach den bisherigen Berechnungen können wir \(E_{\rm{kin,Ar,\nu_{\rm{e}}}}\) und \(E_{\rm{kin,Ar,\gamma}}\) vernachlässigen. Vernachlässigen wir auch noch die Anregungsenergie der Elektronenhülle des Ar-40 - Atoms, so erhalten wir\[E_{\rm{kin,\nu_{\rm{e}}}}=Q-E_{\gamma}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[E_{\rm{kin,\nu_{\rm{e}}}}=1504{,}4\,\rm{keV}-1460{,}8\,\rm{keV}=43{,}6\,\rm{keV}\]Der wirkliche Wert muss etwas darunter liegen.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Kern-/Teilchenphysik

Radioaktivität - Fortführung