Natrium 22 (Na-22) ist ein radioaktives Natriumisotop, das mit einer Halbwertszeit von \(2{,}6\,\rm{a}\) zerfällt. Die Messung von \(\beta^+\)- und \(\gamma\)-Spektrum des Zerfalls von Na-22 liefert folgenden Ergebnisse:
In \(0{,}056\%\) aller Fälle zerfällt Na-22 unter Aussendung eines \(\beta^+\)-Teilchens der Energie \(1821{,}2\,\rm{keV}\) zu Neon 22 (Ne-22) im Grundzustand.
In \(99{,}944\%\) aller Fälle zerfällt Na-22 unter Aussendung eines \(\beta^+\)-Teilchens der Energie \(546{,}7\,\rm{keV}\) zu einem angeregten Zustand von Ne-22 (Ne-22*); das angeregte Ne-22-Atom geht unter Aussendung eines \(\gamma\)-Quants der Energie \(1274{,}5\,\rm{keV}\) in den Grundzustand über.
Daneben findet man noch \(\gamma\)-Quanten der Energie \(511{,}0\,\rm{keV}\), die durch die Annihilation des Positrons mit einem Elektron aus der Umgebung entstehen.
Das Zerfallsschema von Na-22 ist in Abb. 1 dargestellt.
Eine theoretische Begründung der Energie des \(\beta^+\)-Teilchens mit \(546{,}7\,\rm{keV}\) ist auf Schulniveau nicht möglich; wir setzen diesen Wert als gegeben voraus. Die beiden anderen Energien, d.h. die des \(\beta^+\)-Teilchens mit \(1821{,}2\,\rm{keV}\) und die des \(\gamma\)-Quants mit \(1274{,}5\,\rm{keV}\) lassen sich hingegen rechnerisch bestätigen.
Die folgenden Teilaufgaben sollen zeigen, wie die entsprechenden Rechnungen aussehen. Wir nutzen dazu folgende Werte: \({{m_{\rm{A}}}\left( {{}^{22}{\rm{Na}}} \right) = 21{,}994437418\,\rm{u}}\); \({{m_{\rm{A}}}\left( {{}^{22}{\rm{Ne}}} \right) = 21{,}991385109\,\rm{u}}\); \(m_{\rm{e}^+} = m_{\rm{e}} = 5{,}48580 \cdot 10^{-4}\,\rm{u}\).
a)
Gib die Reaktionsgleichung für den direkten Zerfall von Na-22 in Ne-22 an.
b)
Berechne den \(Q\)-Wert beim direkten Zerfall von Na-22 in Ne-22 ohne Berücksichtigung der bei der Annihilation des Positrons und eines Elektrons freiwerdenden Strahlungsenergie.
c)
Begründe mit Hilfe des Impuls- und des Energieerhaltungssatzes, dass beim direkten Zerfall von Na-22 zu Ne-22 durch Aussendung eines \(\beta^+\)-Teilchens mit der kinetischen Energie \(1821{,}2\,\rm{keV}\) nach dem Zerfall auch das Ne-22 - Atom kinetische Energie besitzt.
Berechne diese kinetische Energie.
d)
Bestätige rechnerisch mit Hilfe des Energieerhaltungssatzes, dass der Zerfall von Na-22 über Ne-22* zu Ne-22 durch Aussendung eines \(\beta^+\)-Teilchen mit der kinetischen Energie \(546{,}7\,\rm{keV}\), eines \({\nu}_{\rm{e}}\) und eines \(\gamma\)-Quants der Energie \(1274{,}5\,\rm{keV}\) erfolgen kann.
e)
Beim Aussenden des \(\gamma\)-Quants muss das Ne-22 - Atom durch den Rückstoß sowohl Impuls als auch kinetische Energie übernehmen.
Bestätige rechnerisch, dass diese Energie bei der Rechnung in Aufgabenteil d) zurecht vernachlässigt werden kann.
Im Ruhesystem des Na-22 - Atoms ist der Gesamtimpuls vor dem Zerfall Null und muss aufgrund des Impulserhaltungssatzes nach dem Zerfall ebenfalls Null sein. Damit kann nach dem Zerfall nicht nur das \(\beta^+\)-Teilchen Impuls, Geschwindigkeit und damit kinetische Energie haben, sondern auch das Ne-22 - Atom (und das \(\nu_{\rm{e}}\)) müssen ihren Teil übernehmen.
Wir bezeichnen mit mit \(m_{\rm{p}}\) die Masse und mit \(v_{\rm{p}}\) die Geschwindigkeit des \(\beta^+\)-Teilchens (Positrons) bzw. mit \(m_{\rm{Ne}}\) die Atommasse und mit \(v_{\rm{Ne}}\) die Geschwindigkeit des Ne-22 - Atoms nach dem Zerfall.
Wir gehen davon aus, dass kein weiteres Teilchen am Zerfall beteiligt ist, sich somit Positron und Ne-22 - Atom nach dem Zerfall in entgegengesetzte Richtungen bewegen und außer dem Positron nur das Ne-22 - Atom Impuls und damit kinetische Energie aufnimmt.
Zuerst gilt nach dem Impulserhaltungssatz\[0 = {m_{\rm{p}}} \cdot {v_{{\rm{p}}}} + {m_{\rm{Ne}}}\cdot {v_{{\rm{Ne}}}} \quad (\rm{IES})\]Lösen wir \((\rm{IES})\) nach \(v_{\rm{Ne}}\) auf, so erhalten wir\[{v_{{\rm{Ne}}}} = - \frac{m_{\rm{p}}}{m_{\rm{Ne}}} \cdot v_{\rm{p}}\]Damit ergibt sich für die kinetische Energie des Ne-22 - Atoms \[\begin{eqnarray}E_{\rm{kin,Ne}} &=& \frac{1}{2} \cdot m_{\rm{Ne}} \cdot {v_{\rm{Ne}}}^2\\ &=& \frac{1}{2} \cdot m_{\rm{Ne}} \cdot {\left(-\frac{m_{\rm{p}}}{m_{\rm{Ne}}} \cdot v_{\rm{p}}\right)}^2\\ &=& \frac{1}{2} \cdot m_{\rm{Ne}} \cdot \frac{m_{\rm{p}}^2}{m_{\rm{Ne}}^2} \cdot {v_{\rm{p}}}^2\\ &=& \frac{1}{2} \cdot \frac{{m_{\rm{p}}}^2}{m_{\rm{Ne}}} \cdot {v_{\rm{p}}}^2\\ &=& \frac{m_{\rm{p}}}{m_{\rm{Ne}}} \cdot \underbrace {\frac{1}{2} \cdot m_{\rm{p}} \cdot {v_{\rm{p}}}^2}_{E_{\rm{kin,p}}} \end{eqnarray}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[E_{\rm{kin,Ne}} = \frac{5{,}48580 \cdot 10^{-4}\,\rm{u}}{21{,}991385109\,\rm{u}} \cdot 1821{,}2\,\rm{keV} = 0{,}045\,{\rm{keV}}\]
d)
Wir vernachlässige die Energie, die das Ne-22 - Atom durch den Rückstoß beim Zerfall übernimmt. Für die Energie \(E\), die das Positron und das \(\gamma\)-Quant aufnehmen, ergibt sich\[E=E_{\rm{kin,p}}+E_\gamma \Rightarrow E=546{,}7\,\rm{keV}+1274{,}5\,\rm{keV}=1821{,}2\,\rm{keV}\]Die vom \(Q\)-Wert übrig bleibende Energie von \(0{,}5\,\rm{keV}\) wird wie in Teilaufgabe c) vom Ne-22 - Atom und vom Elektron-Neutrino \(\nu_{\rm{e}}\) übernommen.
e)
Im Ruhesystem des Ne-22 - Atoms ist der Gesamtimpuls vor dem Zerfall Null und muss aufgrund des Impulserhaltungssatzes nach dem Zerfall ebenfalls Null sein. Damit kann nach dem Zerfall nicht nur das \(\gamma\)-Quant Impuls, Geschwindigkeit und damit kinetische Energie haben, sondern auch das Ne-22 - Atom muss seinen Teil übernehmen. Wir bezeichnen mit \(p_{\gamma}\) den Impuls und mit \(E_{\gamma}\) die Energie des \(\gamma\)-Quants bzw. mit \(p_{\rm{Ne}}\) den Impuls und mit \(E_{\rm{kin,Ne}}\) die kinetische Energie des Ne-22 - Atoms nach dem Aussenden des \(\gamma\)-Quants. Für den Impuls \(p_{\gamma}\) des \(\gamma\)-Quants gilt\[p_{\gamma}=\frac{E_{\gamma}}{c}\]und damit aufgrund der Impulserhaltung für den Impuls \(p_{\rm{Ne}}\) des Ne-22 - Atoms\[p_{\rm{Ne}}=-\frac{E_{\gamma}}{c}\quad(*)\]Für die kinetische Energie \(E_{\rm{kin,Ne}}\) des Ne-22 - Atoms gilt\[E_{\rm{kin,Ne}}=\frac{p_{\rm{Ne}}^2}{2 \cdot m_{\rm{Ne}}}\]und mit \((*)\)\[{E_{{\rm{kin,Ne}}}} = \frac{{{{\left( { - \frac{{{E_\gamma }}}{c}} \right)}^2}}}{{2 \cdot {m_{{\rm{Ne}}}}}} = \frac{{{E_\gamma }^2}}{{2 \cdot {m_{{\rm{Ne}}}} \cdot {c^2}}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[\begin{eqnarray}{E_{{\rm{kin,Ne}}}} &=& \frac{{{{\left( {1274{,}5\,\rm{keV}} \right)}^2}}}{{2 \cdot 21{,}991385\,\rm{u} \cdot {{\left( {2{,}9979 \cdot {{10}^8}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}}}\\ &=& \frac{{1274{,}5 \cdot {{10}^3} \cdot 1{,}602 \cdot 10^{ - 19}\,{\rm{J}} \cdot 1274{,}5 \cdot 10^3\,{\rm{eV}}}}{{2 \cdot 21{,}991385 \cdot 1{,}661 \cdot 10^{-27}\,{\rm{kg}} \cdot {{\left( {2{,}9979 \cdot {{10}^8}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}}}\\ &=& 39{,}6\,{\rm{eV}}\end{eqnarray}\]Diese Energie in der Größenordnung von einigen \(\rm{eV}\) kann gegenüber den Energien im \(\rm{keV}\)-Bereich vernachlässigt werden.
