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Aufgabe

Beta-Plus-Zerfall von Natrium 22

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Joachim Herz Stiftung
Abb. 1 Zerfallsschema von Na-22

Natrium 22 (Na-22) ist ein radioaktives Natrriumisotop, das mit einer Halbwertszeit von \(3{,}35\,\rm{d}\) zerfällt. Die Messung von \(\beta^+\)- und \(\gamma\)-Spektrum des Zerfalls von Na-22 liefert folgenden Ergebnisse:

In \(0{,}056\%\) aller Fälle zerfällt Na-22 unter Aussendung eines \(\beta^+\)-Teilchens der Energie \(1821{,}2\,\rm{keV}\) zu Neon 22 (Ne-22) im Grundzustand.

In \(99{,}944\%\) aller Fälle zerfällt Na-22 unter Aussendung eines \(\beta^+\)-Teilchens der Energie \(546{,}7\,\rm{keV}\) zu einem angeregten Zustand von Ne-22; das angeregte Ne-22-Atom geht unter Aussendung eines \(\gamma\)-Quants der Energie \(1274{,}5\,\rm{keV}\) in den Grundzustand über.

Daneben findet man noch \(\gamma\)-Quanten der Energie \(511{,}0\,\rm{keV}\), die durch die Annihilation des Positrons mit einem Elektron aus der Umgebung entstehen.

Das Zerfallsschema von Na-22 ist in Abb. 1 dargestellt.

Eine theoretische Begründung der Energie des \(\beta^+\)-Teilchens mit \(546{,}7\,\rm{keV}\) ist auf Schulniveau nicht möglich; wir setzen diesen Wert als gegeben voraus. Die beiden anderen Energien, d.h. die des \(\beta^+\)-Teilchens mit \(1821{,}2\,\rm{keV}\) und die des \(\gamma\)-Quants mit \(1274{,}5\,\rm{keV}\) lassen sich hingegen rechnerisch bestätigen.

Die folgenden Teilaufgaben sollen zeigen, wie die entsprechenden Rechnungen aussehen. Wir nutzen dazu folgende Werte: \({{m_{\rm{A}}}\left( {{}^{22}{\rm{Na}}} \right) = 21{,}994437418\,\rm{u}}\); \({{m_{\rm{A}}}\left( {{}^{22}{\rm{Ne}}} \right) = 21{,}991385109\,\rm{u}}\); \(m_{\rm{e}^+} = m_{\rm{e}} = 5{,}48580 \cdot 10^{-4}\,\rm{u}\).

a)

Gib die Reaktionsgleichung für den Zerfall von Na-22 an.

b)

Berechne den \(Q\)-Wert beim Zerfall von Na-22 ohne Berücksichtigung der bei der Annihilation des Positrons und eines Elektrons freiwerdenden Strahlungsenergie.

c)

Bestätige rechnerisch mit Hilfe des Impuls- und des Energieerhaltungssatzes, dass beim Zerfall von Na-22 zu Ne-22 durch Aussendung eines \(\beta^+\)-Teilchens mit der kinetischen Energie \(1821{,}2\,\rm{keV}\) ein weiteres Teilchen, das sogenannte Elektron-Neutrino \({\nu}_{\rm{e}}\) beteiligt sein muss.

Berechne die Mindestenergie, die dieses Teilchen beim Zerfall von Na-22 übernehmen muss. Gehe dabei von einer verschwindenden Ruhemasse des \({\nu}_{\rm{e}}\) aus.

d)

Bestätige rechnerisch mit Hilfe des Energieerhaltungssatzes, dass der Zerfall von Na-22 zu Ne-22 durch Aussendung eines \(\beta^+\)-Teilchen mit der kinetischen Energie \(546{,}7\,\rm{keV}\), eines \({\nu}_{\rm{e}}\) und eines \(\gamma\)-Quants der Energie \(1274{,}5\,\rm{keV}\) erfolgen kann.

e)

Beim Aussenden des \(\gamma\)-Quants muss das Ne-22 - Atom durch den Rückstoß sowohl Impuls als auch kinetische Energie übernehmen.

Bestätige rechnerisch, dass diese Energie bei der Rechnung in Aufgabenteil d) zurecht vernachlässigt werden kann.

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a)

\[{}_{11}^{22}{\rm{Na}} \to {}_{10}^{22}{\rm{Ne}} + {}_{1}^{0}{\rm{e}^+} + {}_0^0{\nu _{\rm{e}}}\]

b)

\[\begin{eqnarray}Q &=& \Delta m \cdot c^2\\ &=& \left[ m_{\rm{A}} \left( {}_{11}^{22}{\rm{Na}} \right) - \left( \rm{m}_{\rm{A}} \left( {}_{10}^{22}{\rm{Ne}} \right) + 2 \cdot m_{\rm{e}} \right) \right] \cdot c^2\\ &=& \left[ m_{\rm{A}} \left( {}_{11}^{22}{\rm{Na}} \right) -  \rm{m}_{\rm{A}} \left( {}_{10}^{22}{\rm{Ne}}\right)  - 2 \cdot m_{\rm{e}^+} \right] \cdot c^2\\ &=&\left[ 21{,}994437418\,\rm{u} - 21{,}991385109\,\rm{u} - 2 \cdot 5{,}48580 \cdot 10^{-4}\,\rm{u} \right] \cdot c^2\\ &=& 0{,}001955158 \cdot {\rm{u}} \cdot c^2\\ &=& 0{,}001955158 \cdot 931{,}49\,\rm{MeV}\\ &=& 1821{,}2\,\rm{keV}\end{eqnarray}\]

c)

Im Ruhesystem des Na-22 - Atoms ist der Gesamtimpuls vor dem Zerfall Null und muss aufgrund des Impulserhaltungssatzes nach dem Zerfall ebenfalls Null sein. Damit kann nach dem Zerfall nicht nur das \(\beta^+\)-Teilchen Impuls, Geschwindigkeit und damit kinetische Energie haben, sondern auch das Ne-22 - Atom und das \(\nu_{\rm{e}}\) müssen ihren Teil übernehmen.

Wir bezeichnen mit mit \(m_{\rm{p}}\) die Masse und mit \(v_{\rm{p}}\) die Geschwindigkeit des \(\beta^+\)-Teilchens (Positrons) bzw. mit \(m_{\rm{Ne}}\) die Atommasse und mit \(v_{\rm{Ne}}\) die Geschwindigkeit des Ne-22 - Atoms nach dem Zerfall.

Wir gehen zuerst einmal davon aus, dass kein weiteres Teilchen am Zerfall beteiligt ist, sich somit Positron und Ne-22 - Atom nach dem Zerfall in entgegengesetzte Richtungen bewegen und das Ne-22 - Atom den gesamten Impuls und damit die maximale kinetische Energie aufnimmt.

Zuerst gilt nach dem Impulserhaltungssatz\[0 = {m_{\rm{p}}} \cdot {v_{{\rm{p}}}} + {m_{\rm{Ne}}}\cdot {v_{{\rm{Ne}}}} \quad (\rm{IES})\]Lösen wir \((\rm{IES})\) nach \(v_{\rm{Ne}}\) auf, so erhalten wir\[{v_{{\rm{Ne}}}} =  - \frac{m_{\rm{p}}}{m_{\rm{Ne}}} \cdot v_{\rm{p}}\]Damit ergibt sich für die kinetische Energie des Ne-22 - Atoms \[\begin{eqnarray}E_{\rm{kin,Ne}} &=& \frac{1}{2} \cdot m_{\rm{Ne}} \cdot {v_{\rm{Ne}}}^2\\ &=& \frac{1}{2} \cdot m_{\rm{Ne}} \cdot {\left(-\frac{m_{\rm{p}}}{m_{\rm{Ne}}} \cdot v_{\rm{p}}\right)}^2\\ &=& \frac{1}{2} \cdot m_{\rm{Ne}} \cdot \frac{m_{\rm{p}}^2}{m_{\rm{Ne}}^2} \cdot {v_{\rm{p}}}^2\\ &=& \frac{1}{2} \cdot \frac{{m_{\rm{p}}}^2}{m_{\rm{Ne}}} \cdot {v_{\rm{p}}}^2\\ &=& \frac{m_{\rm{p}}}{m_{\rm{Ne}}} \cdot \underbrace {\frac{1}{2} \cdot m_{\rm{p}} \cdot {v_{\rm{p}}}^2}_{E_{\rm{kin,p}}} \end{eqnarray}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[E_{\rm{kin,Ne}} = \frac{5{,}48580 \cdot 10^{-4}\,\rm{u}}{21{,}21{,}991385109\,\rm{u}} \cdot 1821{,}2\,\rm{keV} = 0{,}045\,{\rm{keV}}\]Das Elektron-Neutrino \(\nu_{\rm{e}}\) muss damit mindestens eine Energie von\[E_{\rm{kin,}{\nu_{\rm{e}}}}=Q-E_{\rm{kin,p}}-E_{\rm{kin,Ne}}=1821{,}2\,\rm{keV}-1821{,}2\,\rm{keV}=0{,}25\,\rm{keV}\]übernehmen.

d)

Wir vernachlässige die Energie, die das Ne-22 - Atom durch den Rückstoß beim Zerfall übernimmt. Für die Energie \(E\), die das Positron und das \(\gamma\)-Quant aufnehmen, ergibt sich\[E=E_{\rm{kin,p}}+E_\gamma \Rightarrow E=546{,}7\,\rm{keV}+1274{,}5\,\rm{keV}=1821{,}2\,\rm{keV}\]Die vom \(Q\)-Wert übrig bleibende Energie von \(0{,}5\,\rm{keV}\) wird wie in Teilaufgabe c) vom Ne-22 - Atom und vom Elektron-Neutrino \(\nu_{\rm{e}}\) übernommen.

e)

Im Ruhesystem des Ne-22 - Atoms ist der Gesamtimpuls vor dem Zerfall Null und muss aufgrund des Impulserhaltungssatzes nach dem Zerfall ebenfalls Null sein. Damit kann nach dem Zerfall nicht nur das \(\gamma\)-Quant Impuls, Geschwindigkeit und damit kinetische Energie haben, sondern auch das Ne-22 - Atom muss seinen Teil übernehmen. Wir bezeichnen mit \(p_{\gamma}\) den Impuls und mit \(E_{\gamma}\) die Energie des \(\gamma\)-Quants bzw. mit \(p_{\rm{Ne}}\) den Impuls und mit \(E_{\rm{kin,Ne}}\) die kinetische Energie des Ne-22 - Atoms nach dem Aussenden des \(\gamma\)-Quants. Für den Impuls \(p_{\gamma}\) des \(\gamma\)-Quants gilt\[p_{\gamma}=\frac{E_{\gamma}}{c}\]und damit aufgrund der Impulserhaltung für den Impuls \(p_{\rm{Ne}}\) des Ne-22 - Atoms\[p_{\rm{Ne}}=-\frac{E_{\gamma}}{c}\quad(*)\]Für die kinetische Energie \(E_{\rm{kin,Ne}}\) des Ne-22 - Atoms gilt\[E_{\rm{kin,Ne}}=\frac{p_{\rm{Ne}}^2}{2 \cdot m_{\rm{Ne}}}\]und mit \((*)\)\[{E_{{\rm{kin,Ne}}}} = \frac{{{{\left( { - \frac{{{E_\gamma }}}{c}} \right)}^2}}}{{2 \cdot {m_{{\rm{Ne}}}}}} = \frac{{{E_\gamma }^2}}{{2 \cdot {m_{{\rm{Ne}}}} \cdot {c^2}}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[\begin{eqnarray}{E_{{\rm{kin,Ne}}}} &=& \frac{{{{\left( {1274{,}5\,\rm{keV}} \right)}^2}}}{{2 \cdot 21{,}991385\,\rm{u} \cdot {{\left( {2{,}9979 \cdot {{10}^8}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}}}\\ &=& \frac{{1274{,}5 \cdot {{10}^3} \cdot 1{,}602 \cdot 10^{ - 19}\,{\rm{J}} \cdot 1274{,}5 \cdot 10^3\,{\rm{eV}}}}{{2 \cdot 21{,}991385 \cdot 1{,}661 \cdot 10^{-27}\,{\rm{kg}} \cdot {{\left( {2{,}9979 \cdot {{10}^8}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}}}\\ &=& 39{,}6\,{\rm{eV}}\end{eqnarray}\]Diese Energie in der Größenordnung von einigen \(\rm{eV}\) kann gegenüber den Energien im \(\rm{keV}\)-Bereich vernachlässigt werden.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Kern-/Teilchenphysik

Radioaktivität - Fortführung