Scandium 47 (Sc-47) ist ein radioaktives Scandiumisotop, das mit einer Halbwertszeit von \(3{,}35\,\rm{d}\) zerfällt. Die Messung von \(\beta^-\)- und \(\gamma\)-Spektrum des Zerfalls von Sc-47 liefert folgenden Ergebnisse:
In \(31{,}6\%\) aller Fälle zerfällt Sc-47 unter Aussendung eines \(\beta^-\)-Teilchens der Maximalenergie \(600{,}3\,\rm{keV}\) zu Titan 47 (Ti-47) im Grundzustand.
In \(68{,}4\%\) aller Fälle zerfällt Sc-47 unter Aussendung eines \(\beta^-\)-Teilchens der Maximalenergie \(440{,}9\,\rm{keV}\) zu einem angeregten Zustand von Ti-47; das angeregte Ti-47-Atom geht unter Aussendung eines \(\gamma\)-Quants der Energie \(159{,}4\,\rm{keV}\) in den Grundzustand über.
Das Zerfallsschema von Sc-47 ist in Abb. 1 dargestellt.
Eine theoretische Begründung der Energie des \(\beta^-\)-Teilchens mit der Maximalenergie \(440{,}9\,\rm{keV}\) ist auf Schulniveau nicht möglich; wir setzen diesen Wert als gegeben voraus. Die beiden anderen Energien, d.h. die des \(\beta^-\)-Teilchens mit der Maximalenergie \(600{,}3\,\rm{keV}\) und die des \(\gamma\)-Quants mit \(159{,}4\,\rm{keV}\) lassen sich hingegen rechnerisch bestätigen.
Die folgenden Teilaufgaben sollen zeigen, wie die entsprechenden Rechnungen aussehen. Wir nutzen dazu folgende Werte: \({{m_{\rm{A}}}\left( {{}^{47}{\rm{Sc}}} \right) = 46{,}952402704\,\rm{u}}\); \({{m_{\rm{A}}}\left( {{}^{47}{\rm{Ti}}} \right) = 46{,}951757752\,\rm{u}}\); \(m_{\rm{e}} = 5{,}48580 \cdot 10^{-4}\,\rm{u}\).
a)
Gib die Reaktionsgleichung für den Zerfall von Sc-47 an.
b)
Berechne den \(Q\)-Wert beim Zerfall von Sc-47.
c)
Bestätige rechnerisch mit Hilfe des Impuls- und des Energieerhaltungssatzes, dass beim Zerfall von Sc-47 zu Ti-47 durch Aussendung eines \(\beta^-\)-Teilchens mit der kinetischen Energie \(600{,}3\,\rm{keV}\) ein weiteres Teilchen, das sogenannte Anti-Elektron-Neutrino \({\bar \nu}_{\rm{e}}\) beteiligt sein muss.
Berechne die Mindestenergie, die dieses Teilchen beim Zerfall von Sc-47 übernehmen muss. Gehe dabei von einer verschwindenden Ruhemasse des \({\bar \nu}_{\rm{e}}\) aus.
d)
Bestätige rechnerisch mit Hilfe des Energieerhaltungssatzes, dass der Zerfall von Sc-47 zu Ti-47 durch Aussendung eines \(\beta^-\)-Teilchen mit der kinetischen Energie \(440{,}9\,\rm{keV}\), eines \({\bar \nu}_{\rm{e}}\) und eines \(\gamma\)-Quants der Energie \(159{,}4\,\rm{keV}\) erfolgen kann.
e)
Beim Aussenden des \(\gamma\)-Quants muss das Ti-47 - Atom durch den Rückstoß sowohl Impuls als auch kinetische Energie übernehmen.
Bestätige rechnerisch, dass diese Energie bei der Rechnung in Aufgabenteil d) zurecht vernachlässigt werden kann.
Im Ruhesystem des Sc-47 - Atoms ist der Gesamtimpuls vor dem Zerfall Null und muss aufgrund des Impulserhaltungssatzes nach dem Zerfall ebenfalls Null sein. Damit kann nach dem Zerfall nicht nur das \(\beta^-\)-Teilchen Impuls, Geschwindigkeit und damit kinetische Energie haben, sondern auch das Ti-47 - Atom und das \(\bar\nu_{\rm{e}}\) müssen ihren Teil übernehmen.
Wir bezeichnen mit mit \(p_{\rm{e}}\) den Impuls des \(\beta^-\)-Teilchens (Elektrons) bzw. mit \(m_{\rm{Ti}}\) die Atommasse und mit \(p_{\rm{Ti}}\) den Impuls des Ti-47 - Atoms nach dem Zerfall. Wir gehen davon aus, dass kein weiteres Teilchen am Zerfall beteiligt ist, sich somit Elektron und Ti-47 - Atom nach dem Zerfall in entgegengesetzte Richtungen bewegen und das Ti-47 - Atom den gesamten Impuls und damit die maximale kinetische Energie aufnimmt.
Aus dem Impulserhaltungssatz \(\rm{IES}\)\[0 = p_{\rm{e}} + p_{\rm{Ti}} \quad (\rm{IES})\]ergibt sich für den Impuls \(p_{\rm{Ti}}\)\[p_{\rm{Ti}}=-p_{\rm{e}}\quad(1)\]Für die kinetische Energie \(E_{\rm{kin,e}}\) gilt\[{E_{{\rm{kin,e}}}} = \frac{{{p_{\rm{e}}}^2}}{{2 \cdot {m_{\rm{e}}}}} \Rightarrow {p_{\rm{e}}}^2 = 2 \cdot {E_{{\rm{kin,e}}}} \cdot {m_{\rm{e}}}\quad (2)\]Damit gilt für die kinetische Energie \(E_{\rm{kin,Ti}}\)\[{E_{{\rm{kin,Ti}}}} = \frac{{{p_{{\rm{Ti}}}}^2}}{{2 \cdot {m_{{\rm{Ti}}}}}}\underbrace = _{(1)}\frac{{{{\left( { - {p_{\rm{e}}}} \right)}^2}}}{{2 \cdot {m_{{\rm{Ti}}}}}}\underbrace = _{(2)}\frac{{2 \cdot {E_{{\rm{kin,e}}}} \cdot {m_{\rm{e}}}}}{{2 \cdot {m_{{\rm{Ti}}}}}} = \frac{{{m_{\rm{e}}}}}{{{m_{{\rm{Ti}}}}}} \cdot {E_{{\rm{kin,e}}}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[E_{\rm{kin,Ti}} = \frac{5{,}485799 \cdot 10^{-4}\,\rm{u}}{46{,}951758\,\rm{u}} \cdot 600{,}3\,{\rm{keV}} = 0{,}007\,{\rm{keV}}\]Damit ist die kinetische Energie, die das Ti-47 - Atom übernimmt, vernachlässigbar klein. Das Anti-Elektron-Neutrino \(\bar\nu_{\rm{e}}\) muss damit mindestens eine Energie von\[E_{\rm{kin,}{\bar\nu_{\rm{e}}}}=Q-E_{\rm{kin,e}}=600{,}8\,\rm{keV}-600{,}3\,\rm{keV}=0{,}5\,\rm{keV}\]übernehmen.
d)
Wie in Teilaufgabe c) auch kann die Energie, die das Ti-47 - Atom durch den Rückstoß beim Zerfall übernimmt, vernachlässigt werden. Damit ergibt sich für die Energie \(E\), die das Elektron und das \(\gamma\)-Quant aufnehmen\[E=E_{\rm{kin,e}}+E_\gamma \Rightarrow E=440{,}9\,\rm{keV}+159{,}4\,\rm{keV}=600{,}3\,\rm{keV}\]Die vom \(Q\)-Wert übrig bleibende Energie von \(0{,}5\,\rm{keV}\) wird wie in Teilaufgabe c) vom Anti-Elektron-Neutrino \(\bar\nu_{\rm{e}}\) übernommen.
e)
Im Ruhesystem des Ti-47 - Atoms ist der Gesamtimpuls vor dem Zerfall Null und muss aufgrund des Impulserhaltungssatzes nach dem Zerfall ebenfalls Null sein. Damit kann nach dem Zerfall nicht nur das \(\gamma\)-Quant Impuls, Geschwindigkeit und damit kinetische Energie haben, sondern auch das Ti-47 - Atom muss seinen Teil übernehmen. Wir bezeichnen mit \(p_{\gamma}\) den Impuls und mit \(E_{\gamma}\) die Energie des \(\gamma\)-Quants bzw. mit \(p_{\rm{Ti}}\) den Impuls und mit \(E_{\rm{kin,Ti}}\) die kinetische Energie des Ti-47 - Atoms nach dem Aussenden des \(\gamma\)-Quants.
Für den Impuls \(p_{\gamma}\) gilt\[p_{\gamma}=\frac{E_{\gamma}}{c}\]Aus dem Impulserhaltungssatz\[0 = {p_{{\rm{Ti}}}} + {p_\gamma }\quad ({\rm{IES}})\]ergibt sich für den Impuls \(p_{\rm{Ti}}\)\[p_{\rm{Ti}}=-\frac{E_{\gamma}}{c}\quad(1)\]Für die kinetische Energie \(E_{\rm{kin,Ti}}\) gilt\[E_{\rm{kin,Ti}}=\frac{p_{\rm{Ti}}^2}{2 \cdot m_{\rm{Ti}}}\]und mit \((1)\)\[{E_{{\rm{kin,Ti}}}} = \frac{{{{\left( { - \frac{{{E_\gamma }}}{c}} \right)}^2}}}{{2 \cdot {m_{{\rm{Ti}}}}}} = \frac{{{E_\gamma }^2}}{{2 \cdot {m_{{\rm{Ti}}}} \cdot {c^2}}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[\begin{eqnarray}{E_{{\rm{kin,Ti}}}} &=& \frac{{{{\left( {159{,}4\,\rm{keV}} \right)}^2}}}{{2 \cdot 46{,}951758\,\rm{u} \cdot {{\left( {2{,}9979 \cdot {{10}^8}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}}}\\ &=& \frac{{159{,}4 \cdot {{10}^3} \cdot 1{,}602 \cdot 10^{ - 19}\,{\rm{J}} \cdot 159{,}4 \cdot 10^3\,{\rm{eV}}}}{{2 \cdot 46{,}951758 \cdot 1{,}661 \cdot 10^{-27}\,{\rm{kg}} \cdot {{\left( {2{,}9979 \cdot {{10}^8}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}}}\\ &=& 0{,}3\,{\rm{eV}}\end{eqnarray}\]Diese Energie in der Größenordnung von weniger als einem \(\rm{eV}\) kann gegenüber den Energien im \(\rm{keV}\)-Bereich vernachlässigt werden.
