Radioaktivität - Fortführung

1. ß^--Zerfall von \(^{85}\rm{Kr}\)

a)Beim ß^--Zerfall wird im Kern ein Neutron in ein Proton umgewandelt und dabei ein Elektron emittiert. Neben dem Elektron entsteht bei diesem Vorgang auch noch ein Antineutrino:\[{}_0^1n \to {}_1^1p + {}_{ - 1}^0{e^ - } + {}_0^0\overline \nu  \] Ähnlich wie beim Alpha-Zerfall ist auch beim ß^--Zerfall davon auszugehen, dass der Zerfall bei einem diskreten Energieniveau des Mutterkerns beginnt und ebenso bei einer diskreten Energiestufe des Tochterkerns endet. Demnach würde man ein diskretes Energiespektrum der ß^- -Teilchen erwarten. Tatsächlich ergibt sich jedoch ein kontinuierliches Energiespektrum der ß^- -Teilchen, welches Pauli dadurch erklärte, dass beim Zerfall noch ein drittes Teilchen, das Antineutrino, auftritt. Energie und Impuls verteilen sich auf drei Teilchen, das kontinuierliche ß^- -Spektrum wird erklärbar.

b)Die Zerfallsgleichung lautet\[{}_{36}^{85}\rm{Kr} \to {}_{37}^{85}\rm{Rb} + {}_{ - 1}^0{e^ - } + {}_0^0\overline \nu  \]Berechnung der Reaktionsenergie aus den Atommassen: \[\begin{array}{l}Q = \left[ {{m_{0,a}}\left( {{}_{36}^{85}\rm{Kr}} \right) - {m_{0,a}}\left( {{}_{37}^{85}\rm{Rb}} \right)} \right] \cdot {c^2} \Rightarrow Q = \left[84{,}912527 - 84{,}911790 \right] \cdot u \cdot {c^2}\\Q = \left[ 0{,}000737 \right] \cdot 931{,}49\,\rm{MeV} \approx 0{,}69\,\rm{MeV}\end{array}\]

c)\[\begin{array}{l}{E_\gamma } = \frac{{h \cdot c}}{\lambda } \Rightarrow \lambda  = \frac{{h \cdot c}}{{{E_\gamma }}}\\\lambda  = \frac{{4,14 \cdot 1{0^{ - 15}} \cdot 3,0 \cdot 1{0^8}}}{{0,51 \cdot {{10}^6}}}\,\rm{m} \approx 2{,}4 \cdot {10^{ - 12}}\,\rm{m}\end{array}\]

2. \(^{85}\rm{Kr}\) in der Qualitätssicherung bei der Papierherstellung

a)Die Elektronen ändern bei der Streuung an den Atomen ihre Bewegungsrichtung. Die Elektronen verlieren durch Vielfach-Ionisation ihre gesamte kinetische Energie.

b)Gammazerfall findet nur im Anschluss an den niederenergetischen in 0,4% aller Fälle statt. D.h. in nur jedem 250. Zerfall tritt ein Gammaquant auf. Bei einer maximalen Zählrate von 231min^-1 würde sich durch den Gammazerfall die Rate um ca. 1min^-1 erhöhen. Dies ist deutlich weniger als der Nulleffekt von \(19\,\rm{min}^{-1}\).

c)Berechnung des Absorptionskoeffizienten für die verschiedenen Dicken: \[z(d) = {z_0} \cdot {e^{ - \mu  \cdot d}} \Rightarrow \frac{{z(d)}}{{{z_0}}} = {e^{ - \mu  \cdot d}} \Rightarrow \ln \left( {\frac{{z(d)}}{{{z_0}}}} \right) =  - \mu  \cdot d \Rightarrow \mu  =  - \frac{{\ln \left( {{\textstyle{{z(d)} \over {{z_0}}}}} \right)}}{d}\]

Als Mittelwert für die Messungen ergibt sich \(\mu= 2{,}6\,\rm{mm}^{-1}\).

d)Die Zählrate ergibt sich aus\[z(d) = {z_0} \cdot {e^{ - \mu \cdot d}} \Rightarrow z(0{,}13\,\rm{mm}) = 212 \cdot {e^{ - 2{,}6 \cdot 0{,}13}}{\rm{min}^{-1}} \approx 151\,{\rm{min}^{-1}}\] Addiert man noch den Nulleffekt dazu, so ergibt sich für die zu erwartende Zählrate \(170\,\rm{min}^{-1}\).

e)Selbst unter der idealisierten Annahme einer konstanten Zerfallsrate ist der zeitliche Abstand zwischen zwei Zerfällen so groß, dass lokale Schwankungen wegen der großen Papiergeschwindigkeit nicht wahrgenommen werden können.Hinzu kommt der statistische Charakter des radioaktiven Zerfalls. Das Verfahren ist jedoch geeignet, dauerhafte Dickenänderungen während des Produktionsprozesses zu registrieren, das sich die Zählrate dann langfristig ändert.

f)Die Elektronen, die nur gestreut oder geringfügig abgebremst wurden, haben das Papier längst verlassen, diejenigen, die im Papier absorbiert wurden, haben keine ionisierende Wirkung mehr.

3. \(^{85}\rm{Kr}\) als Indikator für weltweite Wiederaufarbeitungsaktivitäten

a)Abschätzung des Volumens der Atmosphäre: \[{V_{Atmos}} \approx 4 \cdot \pi  \cdot r_{Erde}^2 \cdot h \Rightarrow {V_{Atmos}} \approx 4 \cdot \pi  \cdot {\left( {6368 \cdot 1{0^3}} \right)^2} \cdot 10 \cdot 1{0^3}{\rm{m}^3} \approx 5{,}1 \cdot {10^{18}}\,{\rm{m}^3}\] Für die Zahl der in einem Jahr zerfallenden Krypton-Kerne gilt: \[{N_{Kr}} = {V_{atmos}} \cdot {A_{Kr}} \cdot \Delta t \Rightarrow {N_{Kr}} = 5{,}1 \cdot {10^{18}} \cdot 1{,}5 \cdot 1 \cdot 365 \cdot 24 \cdot 3600\rm{\frac{{{m^3} \cdot s}}{s}} \approx 2{,}4 \cdot {10^{26}}\]

b)Für den Zusammenhang zwischen der Zahl der wiederaufbereiteten U-Atome (Gemisch aus 96,7% ²³⁸U und 3,3% ²³⁵U) und den vorhandenen Krypton-Atomen gilt: \[\begin{array}{l}{N_{Kr}} = 0{,}0027 \cdot \frac{3}{4} \cdot 0{,}033 \cdot {N_U} \Rightarrow {N_U} = \frac{{{N_{Kr}}}}{{0{,}0027 \cdot \frac{3}{4} \cdot 0{,}033}}\\{N_U} = \frac{{2{,}4 \cdot {{10}^{26}}}}{{0{,}0027 \cdot \frac{3}{4} \cdot 0{,}033}} \approx 3{,}6 \cdot {10^{30}}\end{array}\] Für die Masse des jährlich wiederaufbereiteten Urans gilt: \[{m_U} = {N_U} \cdot {m_a}(U) \Rightarrow {m_U} = 3{,}6 \cdot {10^{30}} \cdot 238 \cdot u \approx 1{,}4 \cdot {10^6}\,\rm{kg}\]

c)Der langfristige Trend zeigt eine Zunahme der ⁸⁵Kr-Aktivität an. Der ⁸⁵Kr-Gehalt der Atmosphäre steigt also an. Daraus kann man schließen, dass die jährlich wiederaufbereitete Masse an Uran über dem in Teilaufgabe 3b abgeschätzten Wert liegt.

d)Bei bestimmten Windrichtungen erreicht uns die mit ⁸⁵Kr angereicherte Luft aus einer der Wiederaufbereitungsanlagen, bevor eine Durchmischung in der Atmosphäre stattfinden kann. Deshalb treten diese Spitzen in der ⁸⁵Kr-Aktivität bei uns auf.

e)(1) Die Krypton-Aktivität würde mit der Zeit exponentiell absinken;
(2) Die Krypton-Aktivität würde mit der Zeit konstant bleiben;

Hinweis: Die hier angegebenen Atommassen wurden der AME2016 des AMDC-Atomic Mass Data Center entnommen.