Beim Zerfallsgesetz geht es darum, wie sich die Zahl der noch unzerfallenen Atomkerne einer radioaktiven Substanz im Laufe der Zeit verringert. Die roten Kreise dieser Simulation symbolisieren \(1000\) Atomkerne eines radioaktiven Stoffes, dessen Halbwertszeit \(T\) \(20\rm{s}\) beträgt. Das Diagramm im unteren Teil stellt graphisch dar, wie hoch der Prozentsatz der unzerfallenen Kerne \(\frac{N}{N_0}\) zu einem gegebenen Zeitpunkt \(t\) nach dem Zerfallsgesetz\[{N = {N_0} \cdot {2^{ - \;\frac{t}{T}}}}\](\(N\): Zahl der unzerfallenen Atomkerne; \(N_0\): Zahl der am Anfang vorhandenen Atomkerne ; \(t\): Zeit; \(T\): Halbwertszeit) sein müsste.
Sobald die Simulation mit dem gelben Schaltknopf gestartet wird, beginnen die Atomkerne zu "zerfallen" (Farbwechsel von rot zu schwarz). Mit dem gleichen Button kann man die Simulation unterbrechen und wieder fortsetzen. In diesem Fall wird ein blauer Punkt für die aktuelle Zeit und den Prozentsatz der unzerfallenen Kerne in das Diagramm eingetragen. Man beachte, dass diese Punkte oft nicht genau auf der Kurve liegen, die nach einem Klick auf "Diagramm" sichtbar wird und die der Vorhersage des Zerfallsgesetzes entspricht. Mit dem Schaltknopf "Zurück" lässt sich die Anfangssituation wiederherstellen.
Für einen einzelnen Atomkern kann man angeben, mit welcher Wahrscheinlichkeit er innerhalb eines gegebenen Zeitraumes "überlebt": Während einer Halbwertszeit \(T\) beträgt diese Wahrscheinlichkeit \({50\% }\). In einem doppelt so langen Zeitraum \(2T\) überlebt der Kern nur noch mit \(25\%\) Wahrscheinlichkeit (Hälfte von \(50\%\)), in einem Zeitintervall von drei Halbwertszeiten \(3T\) nur noch mit \(12,5\%\) (Hälfte von \(25\%\)) usw.. Was man dagegen nicht vorhersagen kann, ist der Zeitpunkt, zu dem ein bestimmter Atomkern zerfällt. Auch wenn beispielsweise die Wahrscheinlichkeit für einen Zerfall in der nächsten Sekunde \({99\% }\) beträgt, ist es dennoch möglich, wenn auch äußerst unwahrscheinlich, dass der Kern erst nach Millionen von Jahren zerfällt.
Wir danken Herrn Walter Fendt für die Erlaubnis, diese HTML5/Javascript-Animation auf LEIFIphysik zu nutzen.
Aufgabe
Lasse die Simulation genau \(60\rm{s}\) laufen und bestimme daraus die Halbwertszeit \(T\) des simulierten Zerfalls.