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Versuche

Radioaktiver Zerfall mit Würfeln

zerfallsgesetz-wuerfeln.jpg
Abb. 1 Benötigtes Material

Mithilfe von einfachen Würfeln kannst du zentrale Aspektes des radioaktiven Zerfalls wie die Abnahme des radioaktiven Materials und die Halbwertszeit simulieren.

Modellvorstellungen

Im Würfelmodell für den radioaktiven Zerfall werden folgende Analogien genutzt:

  • Die Anzahl der Würfel entspricht der Anzahl der radioaktiven Teilchen.
  • Ein Wurf entspricht einem Zeitschritt \(t\).
  • Die Anzahl der verbleibenden Würfel entspricht der Anzahl der noch vorhandenen radioaktiven Teilchen.
  • Die nach einem Wurf entfernten Würfel entsprechen den zerfallenen Teilchen.

Aufbau und Durchführung

Für den Versuch benötigst du ca. 30 oder mehr einfache Würfel und einen ausreichend großen Würfelbecher. Nun würfelst du. Nach dem Wurf entfernst du alle Würfel mit der Augenzahl 1 und notierst die Anzahl der verbleibenden Würfel in einer Tabelle. Jetzt würfelst du wieder mit den verbliebenen Würfeln und wiederholst alle Vorgänge bis du alle Würfel entfernt hast. 

Anzahl der Würfe \(0\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(6\) \(7\) \(8\) \(9\) \(10\) \(11\) \(12\) \(13\) \(14\) \(15\)
zu entfernende Würfel \(0\) \(7\) \(8\) \(6\) \(5\) \(5\) \(3\) \(3\) \(4\) \(1\) \(4\) \(1\) \(2\) \(0\) \(0\) \(1\)
verbleibende Würfel \(50\) \(43\) \(35\) \(29\) \(24\) \(19\) \(16\) \(13\) \(9\) \(8\) \(4\) \(3\) \(1\) \(1\) \(1\) \(0\)

Auswertung

Aufgabe

Erstelle ein x-y-Diagramm mit der Anzahl der Würfe auf der x-Achse und der Zahl der verbleibenden Würfel auf der y-Achse. Beschreibe anschließend, wann besonders viele Würfel entfernt werden müssen, also wann viele radioaktive Teilchen zerfallen und wann wenige. Versuche zu erklären, warum das so ist.

Lösung

zerfallsgesetz_wuerfeln_chart1.svg

Wenn noch viele Würfel bzw- radioaktive Teilchen da sind, dann müssen auch viele Würfel entfernt werden bzw. es zerfallen wenige Teilchen. Wenn nur noch wenige Würfel bzw. Teilchen übrig sind, dann müssen meist auch weniger entfernt werden.
Die Ursache hierfür ist, dass die Wahrscheinlichkeit, eine Eins zu würfeln für jeden einzelnen Würfel immer gleich ist, nämlich 1/6. Hat man nun 50 Würfel, so wirft man meistens mehr Einer als, als wenn man nur 5 Würfel hat. Entsprechend zerfallen auch viele radioaktive Teilchen, wenn noch viele Teilchen da sind und weniger, wenn nur noch wenige da sind.

Mathematische Beschreibung

Mithilfe der Wahrscheinlichkeitsrechnung, kannst du bei Würfeln vorhersagen, wieviele Einer zu bei einem Wurf im Mittel würfelst. Die Wahrscheinlichkeit eine Eins zu würfeln ist \(\frac{1}{6}\), da es sechs Möglichkeiten gibt, von denen eine die gewünschte Eins ist. Bei 50 Würfeln würfelst du also im Mittel \(50\cdot \frac{1}{6}\approx 8\) Einsen, die du entfernen musst. Aus Sicht der verbleibenden Würfel kannst du sagen, dass die Wahrscheinlichkeit \(1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\) beträgt, im nächsten Wurf noch dabei zu sein. Für die verbleibenden Würfel nach dem 1. Wurf gilt also: \[\text{Anzahl nach 1. Wurf}= \text{Anzahl der Würfel}\cdot \frac{5}{6}\]\[\Rightarrow \text{Anzahl nach 1. Wurf}=50\cdot\frac{5}{6}\approx 42\]

Es bleiben also nachher noch \(42\) Würfel übrig. Beim zweiten Wurf bleibt die Wahrscheinlichkeit unverändert, aber die Zahl der Würfel im Becher ist jetzt nur noch \(50\cdot\frac{5}{6}\approx 42\). Nach dem zweiten Wurf bleiben im Mittel also \[\text{Anzahl nach 2. Wurf}=\frac{5}{6} \cdot\text{Anzahl nach 1. Wurf}=\frac{5}{6} \cdot\left(50\cdot \frac{5}{6}\right)\text{ Würfel}\]

Da also bei jedem Wurf eine gleiche relative Abnahme um \(\frac{1}{6}\) stattfindet, lässt sich die Zahl der noch vorhandenen Würfel mithilfe folgender Exponentialfunktion beschreiben: \[\text{Anzahl nach n-tem Wurf} = 50\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^n\]

Diesen "idealen" Verlauf können wir nun auch in unser Diagramm einzeichnen:

zerfallsgesetz_wuerfeln_chart2.svg
Abb. 2 Zerfallsreihe durch Würfeln mit theoretischer Kurve

Halbwertszeit \(T_{1/2}\)

Im Gegensatz zu Würfeln kennt man bei radioaktiven Teilchen die Zerfallswahrscheinlichkeit meistens nicht. Daher führt man die sog. Halbwertszeit \(T_{1/2}\) ein. Nach dieser Zeit \(T_{1/2}\) ist gerade noch die Hälfte der Ausgangsmenge an radioaktiven Teilchen vorhanden. Auch mit dieser Größe kannst du die mittlere Teilchenzahl zu jedem Zeitpunkt \(t\) berechnen. Dazu nutzt du folgende Exponentialfunktion:\[\text{Zeilchenzahl nach Zeit }t =\text{Teilchenzahl zu Beginn}\cdot 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}}\]

In unserem Würfelmodell wäre die Halbwertszeit etwa 4 Würfe, da nach 4 Würfen mit 24 Würfeln nur noch etwa die Hälfte der ursprünglichen 50 Würfeln im Becher sind. Die Exponentialfunktion mithilfe der im Experiment bestimmten Halbwertszeit ist im Würfelmodell also \[\text{Anzahl}(t)=50\cdot 2^{-\frac{t}{4}}\]

Der im Diagramm dargestellte Vergleich zwischen beiden mathematischen Beschreibungen zeigt große Ähnlichkeit zwischen den beiden Kurven.

zerfallsgesetz_wuerfeln_chart3.svg
Abb. 3 Theoretischer und über Halbwertszeit ermittelter Verlauf im Vergleich