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Grundwissen

Fusionswahrscheinlichkeit

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Protonen müssen genug Energie besitzen, um die Coulombkräfte zu überwinden, um fusionieren zu können.
  • Trotz der hohen Temperatur in der Sonne besitzen auch hier nicht genug Protonen genug Energie.
  • Der Tunneleffekt im quantenmechanischen Modell erklärt, warum dennoch ausreichend Kernfusionen stattfinden.
Aufgaben Aufgaben

Die Frage, welche Fusionsprozesse im Inneren der Sonne und im Inneren anderer Sterne ablaufen, ist vor allem eine Frage, mit welcher Wahrscheinlichkeit es zu solchen Fusionsprozessen kommt und von welchen Größen diese Fusionswahrscheinlichkeiten abhängen.

Das Problem der Coulombabstoßung und der geringen Kernkraftreichweite

Nähert sich ein Proton einem anderen Proton oder einem anderen Kern, so stoßen sich beide auf Grund der elektrischen Kräfte (Coulombkräfte) ab, da beide positiv geladen sind. Diese Abstoßungskräfte wachsen um so mehr, je kleiner der Abstand \(r\) zwischen den beiden Protonen wird, da für die Coulombkraft \(F\sim \frac{1}{r^2}\) gilt. Die Kernkräfte, die letztendlich die Fusion ermöglichen, besitzen jedoch nur eine sehr geringe Reichweite.

Die Protonen müssen also ausreichend kinetische Energie besitzen, um die abstoßenden Coulombkräfte zu überwinden.

Mechanische Analogie

Eine klassisch mechanische Analogie für das Problem ist es in etwa, wenn man eine Kugel in einen Becher rollen soll, der von einem Wall, dem "Coulombwall", ringförmig umgeben ist. Um dies zu schaffen, muss man

  1. genau mittig treffen und
  2. der Kugel genügend kinetische Energie mitgeben.

Dieses Kugelexperiment geschieht in der Sonne mit riesiger Häufigkeit.

Probleme trotz großer Protonenzahl

Diagramm zur Geschwindigkeitsverteilung der Protonen in der Sonne
Abb. 2 Geschwindigkeitsverteilung der Protonen bei zwei unterschiedlichen Temperaturen

Die Protonen im Sonneninneren haben selbst bei einer Temperatur von 15 Millionen Kelvin nur eine mittlere kinetische Energie von etwa \(2\,\rm{keV}\) und würden sich dem Kern nur auf etwa \(4\cdot10^{-13}\,\rm{m}\) nähern.
Zur Überwindung des Coulombwalls wären jedoch eine Näherung auf etwa \(3\cdot10^{-15}\,\rm{m}\) notwendig. Dies entspricht einer Energie von \(250\,\rm{keV}\).

Nun gibt es natürlich auch schnellere Protonen. Die Geschwindigkeit der Protonen gehorcht der von Gasen her bekannten Maxwellschen Geschwindigkeitsverteilung (vgl. Abb. 2) .
Mit der Maxwellschen Geschwindigkeitsverteilung errechnet man sich für eine Temperatur von 15 Millionen Kelvin, das weniger als 1200 Protonen in der Sonne die nötige Energie von \(250\,\rm{keV}\) haben. In der Sonne fusionieren in Wirklichkeit aber \(3{,}6\cdot 10^{38}\) Protonen pro Sekunde.

Erklärung durch Tunneleffekt im quantenmechanischem Modell

Dies läßt sich nur mit dem quantenmechanischen Modell erklären. Hier ist die Wahrscheinlichkeit einer Kernreaktion schon bei größeren Proton-Proton-Abständen von Null verschieden. Das Proton kann mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit schon bei niedrigerer Energie auf Grund des Tunneleffekts den Coulombwall durchdringen.

Doch auch diese Wahrscheinlichkeit ist nicht sehr groß. Dies wird dadurch deutlich, dass in den letzten 4,5 Milliarden Jahren erst 6% des Wasserstoffs der Sonne eine Kernfusion durchgeführt haben.

Herausforderungen für Fusionsreaktoren

Gleichzeitig zeigen diese Punkte, dass es sehr schwierig ist einen solchen Fusionsprozess auf der Erde zu erzeugen und hieraus Energie zu gewinnen, wie es Fusionsreaktoren beabsichtigen. Auf der Erde können nur vergleichsweise geringere Massen eingesetzt werden und es müssen künstlich sehr hohe Temperaturen erzeugt werden.

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