Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.
a)Es gilt für beide Uransorten \(N(t) = N(0) \cdot {e^{ - \lambda \cdot t}}\) mit Zeitpunkt \(0\) früher und Zeitpunkt \(t\) heute. Außerdem gilt für die Zerfallskonstanten \(\lambda = \frac{{\ln \left( 2 \right)}}{{{T_{1/2}}}}\). Es gilt nun \[\frac{{{N_{235}}\left( 0 \right)}}{{{N_{238}}\left( 0 \right)}} = \frac{{3{,}5}}{{96{,}5}}\;;\;\frac{{{N_{235}}\left( t \right)}}{{{N_{238}}\left( t \right)}} = \frac{{0{,}72}}{{99{,}28}}\] Daraus ergibt sich \[\frac{{0{,}72}}{{99{,}28}} = \frac{{3{,}5 \cdot {e^{ - {\lambda _{235}} \cdot t}}}}{{96{,}5 \cdot {e^{ - {\lambda _{238}} \cdot t}}}} \Leftrightarrow \frac{{0{,}72 \cdot 96{,}5}}{{99{,}28 \cdot 3{,}5}} = {e^{\left( { - {\lambda _{235}} + {\lambda _{238}}} \right) \cdot t}} \Leftrightarrow \ln \left( {\frac{{0{,}72 \cdot 96{,}5}}{{99{,}28 \cdot 3{,}5}}} \right) = \left( {{\lambda _{238}} - {\lambda _{235}}} \right) \cdot t\] Auflösen nach \(t\) und Einsetzen von \(\lambda\) liefert \[t = \frac{{\ln \left( {\frac{{0{,}72 \cdot 96{,}5}}{{99{,}28 \cdot 3{,}5}}} \right)}}{{{\lambda _{238}} - {\lambda _{235}}}} = \frac{{\ln \left( {\frac{{0{,}72 \cdot 96{,}5}}{{99{,}28 \cdot 3{,}5}}} \right)}}{{\frac{{\ln \left( 2 \right)}}{{4{,}5 \cdot {{10}^9}{\rm{a}}}} - \frac{{\ln \left( 2 \right)}}{{7{,}0 \cdot {{10}^8}{\rm{a}}}}}} = 1{,}9 \cdot {10^9}{\rm{a}}\]
b)Man benötigt eine hohe Urankonzentration, damit die Neutronen nicht durch andere Stoffe absorbiert werden, bevor sie eine Kettenreaktion auslösen können. Da die primär erzeugten Neutronen schnelle Neutronen sind, für die weitere Spaltung aber langsame Neutronen notwendig sind, ist ein Moderator wie Wasser in direkter Umgebung des Urans nötig. Heute ist der vorkommende \({}_{}^{235}{\rm{U}}\) -Anteil zu gering (siehe Teilaufgabe a)).
