Sowohl bei \({}^{238}{\rm{U}}\) als auch bei \({}^{235}{\rm{U}}\) können Neutronen Kernspaltungen auslösen. Dabei werden zunächst die angeregten Zwischenkerne \({}^{239}{{\rm{U}}^*}\) bzw. \({}^{236}{{\rm{U}}^*}\) gebildet: \[{}^{238}{\rm{U}} + {\rm{n}} \to {}^{239}{{\rm{U}}^*}\;;\;{}^{235}{\rm{U}} + {\rm{n}} \to {}^{236}{{\rm{U}}^*}\] Damit jeweils im zweiten Schritt die Spaltung des angeregten Zwischenkerns tatsächlich auftreten kann, muss dessen Anregungsenergie bei \({}^{239}{{\rm{U}}^*}\) bei mindestens \(6{,}3\,\rm{MeV}\) und bei \({}^{236}{{\rm{U}}^*}\) bei mindestens \(5{,}8\,\rm{MeV}\) betragen.
a)
Bestimme jeweils, welche Bedingung die kinetische Energie des auslösenden Neutrons erfüllen muss, damit der Spaltprozess ablaufen kann.
Interpretiere deine Ergebnisse in Bezug auf die Spaltbarkeit der betrachteten \({\rm{U}}\)-Isotope durch thermische Neutronen. (9 BE)
b)
Fängt ein \({}^{238}{\rm{U}}\)-Kern ein Neutron ein, das eine kleinere als die in Teilaufgabe a) berechnete kinetische Energie besitzt, so tritt keine Spaltung auf. In diesem Fall kann aber aus dem entstandenen \({}^{239}{\rm{U}}\) ein Plutoniumisotop entstehen.
Gib die zugehörigen Zerfallsgleichungen an. (4 BE)
c)
In einem Kernkraftwerk wird die Spaltung von \({}^{235}{\rm{U}}\) zur Energiegewinnung herangezogen. Pro Spaltung werden im Mittel etwa \(200\,\rm{MeV}\) frei, die zu \(33\%\) in elektrische Nutzenergie umgewandelt werden können.
Berechne aus diesen Daten, welche Masse an \({}^{235}{\rm{U}}\) gespalten wird, wenn der Kernreaktor im Dauerbetrieb 11 Monate lang durchgehend arbeitet und die elektrische Nettoleistung des Kraftwerks \(1{,}3\,\rm{GW }\) betragen soll. (6 BE)
d)
Bei der Uranspaltung entsteht unter anderem das radioaktive Edelgas \({}^{133}{\rm{Xe}}\), das mit einer Halbwertszeit von \(5{,}3\,\rm{d}\) zerfällt. Um die Aktivität der in der Reaktorabluft vorhandenen radioaktiven Gase abzusenken, wird die Abluft durch ein Filter aus Aktivkohle geleitet.
Berechne, wie lange dieser Filter das eingeleitete Gas festhalten muss, damit \(99{,}5\%\) der ursprünglichen \({}^{133}{\rm{Xe}}\)-Aktivität aus der Abluft beseitigt werden. (7 BE)
Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.
a)
Für die Reaktion \({}^{238}{\rm{U}} + {\rm{n}} \to {}^{239}{{\rm{U}}^*}\) berechnet man die frei werdende Energie zu \[\begin{eqnarray}\Delta E &=& \Delta m \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {{m_{\rm{K}}}\left( {_{92}^{238}{\rm{U}}} \right) + {m_{\rm{n}}} - {m_{\rm{K}}}\left( {_{92}^{239}{\rm{U}}} \right)} \right] \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {238{,}000318{\rm{u}} + 1{,}008665{\rm{u}} - 239{,}003823{\rm{u}}} \right] \cdot {c^2}\\ &=& 0{,}005160 \cdot u \cdot {c^2}\\ &=& 0{,}005160 \cdot 931{,}49\,{\rm{MeV}}\\ &=& 4{,}8\,{\rm{MeV}}\end{eqnarray}\] Da die \({}^{239}{{\rm{U}}}\)-Kerne aber für die Spaltung die Energie \(6{,}3\,\rm{MeV}\) besitzen müssen, müssen die Neutronen die kinetische Energie \({E_{{\rm{kin}}}} = 6{,}3\,{\rm{MeV}} - 4{,}8\,{\rm{MeV}} = 1{,}5\,{\rm{MeV}}\) besitzen. Diese kinetische Energie besitzen thermische Neutronen mit einer Energie von weniger als \(100\,\rm{meV}\) nicht.
Für die Reaktion \({}^{235}{\rm{U}} + {\rm{n}} \to {}^{236}{{\rm{U}}^*}\) berechnet man die frei werdende Energie zu \[\begin{eqnarray}\Delta E &=& \Delta m \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {{m_{\rm{K}}}\left( {_{92}^{235}{\rm{U}}} \right) + {m_{\rm{n}}} - {m_{\rm{K}}}\left( {_{92}^{236}{\rm{U}}} \right)} \right] \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {234,993459{\rm{u}} + 1,008665{\rm{u}} - 235,995097{\rm{u}}} \right] \cdot {c^2}\\ &=& 0,007027 \cdot u \cdot {c^2}\\ &=& 0{,}007027 \cdot 931{,}49\,{\rm{MeV}}\\ &=& 6{,}5\,{\rm{MeV}}\end{eqnarray}\] Da die \({}^{236}{{\rm{U}}}\)-Kerne für die Spaltung aber nur die Energie \(5{,}8\,\rm{MeV}\) besitzen müssen, können thermische Neutronen die Spaltung auslösen.
b)
Joachim Herz Stiftung
Abb. 1. Darstellung des Reaktionsweges auf der Nuklidkarte.
Die Zerfallsgleichungen lauten\[{}_{92}^{239}{\rm{U}} \to {}_{93}^{239}{\rm{Np}} + {}_{ - 1}^0{\rm{e}} + {{\bar \nu }_e}\] und \[{}_{93}^{239}{\rm{Np}} \to {}_{94}^{239}{\rm{Pu}} + {}_{ - 1}^0{\rm{e}} + {{\bar \nu }_e}\] Der Gesamtverlauf der einzelnen Kernreaktionen ist auf dem Nuklidkarten-Ausschnitt in Abbildung 1 dargestellt.
c)
Die bei einem Zerfall nutzbare Energie \({E_{{\rm{Nutz}}}}\) berechnet sich durch \[{E_{{\rm{Nutz}}}} = 33\% \cdot 200{\rm{MeV}} = 33\% \cdot 200 \cdot {10^6} \cdot 1{,}60 \cdot {10^{ - 19}}{\rm{As}} \cdot {\rm{V}} = 1{,}06 \cdot {10^{ - 11}}\,{\rm{J}}\] Die gesamte in 11 Monaten gelieferte elektrische Energie \(E_{{\rm{el}}}\) berechnet sich zu \[{E_{{\rm{el}}}} = {P_{{\rm{el}}}} \cdot t \Rightarrow {E_{{\rm{el}}}} = 1{,}3 \cdot {10^9}\,{\rm{W}} \cdot 11 \cdot 30 \cdot 24 \cdot 3600\,{\rm{s}} = 3{,}7 \cdot {10^{16}}\,{\rm{J}}\] Hierfür sind demnach \[N = \frac{{{E_{{\rm{el}}}}}}{{{E_{{\rm{Nutz}}}}}} = \frac{{3{,}7 \cdot {{10}^{16}}\,{\rm{J}}}}{{1{,}06 \cdot {{10}^{ - 11}}\,{\rm{J}}}} = 3{,}5 \cdot {10^{27}}\] Zerfälle notwendig. Die bei dieser Zahl an Zerfällen benötigte Masse an \({{}^{235}{\rm{U}}}\) berechnet sich schließlich zu \[m = 3{,}5 \cdot {10^{27}} \cdot {m_{\rm{A}}}\left( {{}^{235}{\rm{U}}} \right) = 3{,}5 \cdot {10^{27}} \cdot 235{\rm{ u}} = 3{,}5 \cdot {10^{27}} \cdot 235 \cdot 1{,}66 \cdot {10^{ - 27}}\,{\rm{kg}} = 1{,}4 \cdot {10^3}\,{\rm{kg}} = 1{,}4\,{\rm{t}}\]
d)
Das Zerfallsgesetz lautet allgemein \[A\left( t \right) = {A_0} \cdot {e^{ - \frac{{\ln \left( 2 \right)}}{{{T_{1/2}}}} \cdot t}}\] Daraus erhält man für diesen konkreten Fall \[A\left( t \right) = {A_0} \cdot {e^{ - \frac{{\ln \left( 2 \right)}}{{5,3{\rm{d}}}} \cdot t}}\] Hieraus wiederum berechnet man für die Zeit, nach der die Aktivität auf \(0{,}5\%\) abgesunken ist, durch \[0{,}5\% \cdot {A_0} = {A_0} \cdot {e^{ - \frac{{\ln \left( 2 \right)}}{{5{,}3{\rm{d}}}} \cdot t}} \Leftrightarrow 0{,}005 = {e^{ - \frac{{\ln \left( 2 \right)}}{{5{,}3\,{\rm{d}}}} \cdot t}} \Leftrightarrow \ln \left( {0{,}005} \right) = - \frac{{\ln \left( 2 \right)}}{{5{,}3\,{\rm{d}}}} \cdot t \Leftrightarrow t = \frac{{ - \ln \left( {0{,}005} \right)}}{{\ln \left( 2 \right)}} \cdot 5{,}3\,{\rm{d}} = 41\,{\rm{d}}\]
Hinweis: Die hier angegebenen Kernmassen wurden berechnet aus den in der vom AMDC-Atomic Mass Data Center im Rahmen der AME2016 angegebenen Atommassen abzüglich der Masse der Elektronen ohne Berücksichtigung der Bindungsenergie der Elektronen, die lediglich in der Größenordnung von wenigen \(\rm{eV}\) liegt.
