Kernreaktionen

Da die Ni-64-Ionen zweifach positiv geladen sind, beträgt ihre elektrische Energie an der Anode \(E_\rm{el}= 2 \cdot e \cdot {U_{\rm{B}}}\).  Diese elektrische Energie wird in kinetische Energie \(E_\rm{kin} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v^2}\) an der Kathode umgewandelt. Der Energieerhaltungssatz liefert\[2 \cdot e \cdot {U_{\rm{B}}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v^2} \Leftrightarrow {U_{\rm{B}}} = \frac{{m \cdot {v^2}}}{{4 \cdot e}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{U_{\rm{B}}} = \frac{{64 \cdot 1{,}66 \cdot {{10}^{ - 27}}{\rm{kg}} \cdot {{\left( {3{,}0 \cdot {{10}^7}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}}}{{4 \cdot 1{,}60 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{As}}}} = 150\,{\rm{MV}}\]

Man lässt beispielsweise in einem Zyklotron die Teilchen eine geringere Spannung mehrfach durchlaufen. Dazu benötigt man hochfrequente Wechselspannung und Magnetfelder, um die Ionen in der geforderten Bahn zu halten.

Die Reaktionsgleichung lautet\[{}_{28}^{64}{\rm{Ni}} + {}_{83}^{209}{\rm{Bi}} \to {}_{111}^{272}{\rm{Rg + }}{}_0^1{\rm{n}}\]

Die Bindungsenergie \(E_{\rm{B}}\) von \({}_{111}^{272}{\rm{Rg}}\) berechnet sich durch die Differenz aus der Summe der Massen aller einzelnen Atombausteine (\(111\) Protonen, \(161\) Neutronen und \(111\) Elektronen) und der experimentell bestimmten Atommasse. Damit ergibt sich\[\begin{eqnarray}{E_{\rm{B}}} &=& \left[ {111 \cdot {m_{\rm{p}}} + 111 \cdot {m_{\rm{e}}} + 161 \cdot {m_{\rm{n}}} - {m_{\rm{A}}}\left( {{}_{111}^{272}{\rm{Rg}}} \right)} \right] \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {111 \cdot 1{,}007276\,{\rm{u}} + 111 \cdot 0{,}000549\,{\rm{u}} + 161 \cdot 1{,}008665\,{\rm{u}} - 272{,}153273\,{\rm{u}}} \right] \cdot {c^2}\\ &=& 2{,}110370 \cdot u \cdot {c^2}\\ &=& 2{,}110370 \cdot 931{,}49\,{\rm{MeV}}\\ &=& 1{,}97\,{\rm{GeV}}\end{eqnarray}\]Damit ergibt sich für die Bindungsenergie pro Nukleon\[\frac{{{E_{\rm{B}}}}}{A} = \frac{{1{,}97\,{\rm{GeV}}}}{{272}} = 7{,}2\,{\rm{MeV}}\]

\[{r_{{\rm{Ni}}}} = {r_0} \cdot \sqrt[3]{{64}} = 1{,}4 \cdot {10^{ - 15}}{\rm{m}} \cdot \sqrt[3]{{64}} = 5{,}6 \cdot {10^{ - 15}}{\rm{m}}\]\[{r_{{\rm{Bi}}}} = {r_0} \cdot \sqrt[3]{{209}} = 1{,}4 \cdot {10^{ - 15}}{\rm{m}} \cdot \sqrt[3]{{209}} = 8{,}3 \cdot {10^{ - 15}}{\rm{m}}\]Die benötigte kinetische Energie ist gleich der potentiellen Energie der beiden positiv geladenen Kerne im Abstand \(r = {r_{{\rm{Ni}}}} + {r_{{\rm{Bi}}}} = 5{,}6 \cdot {10^{ - 15}}{\rm{m}} + 8{,}3 \cdot {10^{ - 15}}{\rm{m}} = 13{,}9 \cdot {10^{ - 15}}{\rm{m}}\):\[{E_{{\rm{kin}}}} = {E_{{\rm{pot}}}} = \frac{1}{{4 \cdot \pi \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{28 \cdot e \cdot 83 \cdot e}}{r}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{E_{{\rm{kin}}}} = \frac{1}{{4 \cdot \pi \cdot 8{,}85 \cdot {{10}^{ - 12}}\frac{{{\rm{As}}}}{{{\rm{Vm}}}}}} \cdot \frac{{28 \cdot 83 \cdot {{\left( {1{,}60 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{As}}} \right)}^2}}}{{13{,}9 \cdot {{10}^{ - 15}}\,{\rm{m}}}} = 0{,}24\,{\rm{GeV}}\]