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Aufgabe

Roentgenium (Abitur BY 2006 LK A4-2)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Im Jahr 1994 wurden bei der Gesellschaft für Schwerionenforschung in Darmstadt durch eine Kernreaktion erstmals Atome mit der Ordnungszahl \(111\) und der Massenzahl \(272\) künstlich erzeugt und nachgewiesen. Im Jahr 2004 erhielt das so neu entdeckte Element von der Internationalen Chemikervereinigung den Namen Roentgenium (Rg).

Zur Produktion von \({}^{272}{\rm{Rg}}\) wurden zweifach positiv geladene \({}^{64}{\rm{Ni}}\)-Ionen mit Hilfe eines Teilchenbeschleunigers auf eine Geschwindigkeit von \(3{,}0 \cdot {10^7}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) gebracht und auf ein Target aus Wismut (\({\rm{Bi}}\)) geschossen.

a)Berechne die Spannung, die durchlaufen werden muss, damit die \({}^{64}{\rm{Ni}}\)-Ionen auf die angegebene Geschwindigkeit beschleunigt werden (nichtrelativistische Rechnung). (4 BE)

b)Spannungen über \(20\,{\rm{MV}}\) lassen sich kaum handhaben.

Erkläre kurz eine Möglichkeit, wie man die \({\rm{Ni}}\)-Ionen trotzdem auf die angegebene Geschwindigkeit bringen kann. (4 BE)

\({}^{272}{\rm{Rg}}\) wird bei der Kollision eines \({}^{64}{\rm{Ni}}\)-Kerns mit einem \({}^{209}{\rm{Bi}}\)-Kern hergestellt, wobei unmittelbar bei der Entstehung noch ein Neutron freigesetzt wird.

c)Stelle die Reaktionsgleichung für die Erzeugung von \({}^{272}{\rm{Rg}}\) auf. (3 BE)

d)Die Atommasse von \({}^{272}{\rm{Rg}}\) ist \(272{,}153273{\rm{u}}\).

Berechne die gesamte Bindungsenergie \({E_{\rm{B}}}\) eines solchen Atoms.

Berechne, welchen Wert demzufolge die Bindungsenergie pro Nukleon \(\frac{{{E_{\rm{B}}}}}{A}\) hat. (5 BE)

e)Für den Radius \(r\) eines Atomkerns der Massenzahl \(A\) gilt näherungsweise: \(r = {r_0} \cdot \sqrt[3]{A}\) mit \({r_0} = 1{,}4 \cdot {10^{ - 15}}{\rm{m}}\).

Schätze damit die kinetische Energie in \({\rm{GeV}}\) ab, die ein \({}^{64}{\rm{Ni}}\)-Kern haben muss, um sich aus großer Entfernung einem ortsfest angenommenen \({}^{209}{\rm{Bi}}\)-Kern bis zur Berührung annähern zu können. (6 BE)

Hinweis: Die hier angegebene Atommasse wurde der AME2016 des AMDC-Atomic Mass Data Center entnommen.

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)\[2 \cdot e \cdot {U_{\rm{B}}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v^2} \Leftrightarrow {U_{\rm{B}}} = \frac{{m \cdot {v^2}}}{{4 \cdot e}}\]\[\Rightarrow {U_{\rm{B}}} = \frac{{64 \cdot 1{,}66 \cdot {{10}^{ - 27}}{\rm{kg}} \cdot {{\left( {3{,}0 \cdot {{10}^7}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}}}{{4 \cdot 1{,}60 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{As}}}} = 150\,{\rm{MV}}\]

b)Man lässt beispielsweise in einem Zyklotron die Teilchen eine geringere Spannung mehrfach durchlaufen. Dazu benötigt man hochfrequente Wechselspannung und Magnetfelder, um die Ionen in der geforderten Bahn zu halten.

c)Die Reaktionsgleichung lautet\[{}_{28}^{64}{\rm{Ni}} + {}_{83}^{209}{\rm{Bi}} \to {}_{111}^{272}{\rm{Rg + }}{}_0^1{\rm{n}}\]

d) \[\begin{eqnarray}{E_{\rm{B}}} &=& \Delta m \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {{m_{\rm{A}}}\left( {{}_{28}^{64}{\rm{Ni}}} \right) + {m_{\rm{A}}}\left( {{}_{83}^{209}{\rm{Bi}}} \right) - \left( {{m_{\rm{A}}}\left( {{}_{111}^{272}{\rm{Rg}}} \right) + {m_n}} \right)} \right] \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {28 \cdot {m_{\rm{p}}} + 36 \cdot {m_{\rm{n}}} + 28 \cdot {m_{\rm{e}}} + 83 \cdot {m_{\rm{p}}} + 126 \cdot {m_{\rm{n}}} + 83 \cdot {m_{\rm{e}}} - {m_{\rm{A}}}\left( {{}_{111}^{272}{\rm{Rg}}} \right) - {m_n}} \right] \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {111 \cdot {m_{\rm{p}}} + 111 \cdot {m_e} + 161 \cdot {m_{\rm{n}}} - {m_{\rm{A}}}\left( {{}_{111}^{272}{\rm{Rg}}} \right)} \right] \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {111 \cdot 1{,}007276{\rm{u}} + 111 \cdot 0{,}000549{\rm{u}} + 161 \cdot 1{,}008665{\rm{u}} - 272{,}153273{\rm{u}}} \right] \cdot {c^2}\\ &=& 2{,}110370 \cdot u \cdot {c^2}\\ &=& 2{,}110370 \cdot 931{,}49\,{\rm{MeV}}\\ &=& 1{,}97\,{\rm{GeV}}\end{eqnarray}\]\[\frac{{{E_{\rm{B}}}}}{A} = \frac{{1{,}97\,{\rm{GeV}}}}{{272}} = 7{,}2\,{\rm{MeV}}\]

e)\[{r_{{\rm{Ni}}}} = {r_0} \cdot \sqrt[3]{{64}} = 1{,}4 \cdot {10^{ - 15}}{\rm{m}} \cdot \sqrt[3]{{64}} = 5{,}6 \cdot {10^{ - 15}}{\rm{m}}\]\[{r_{{\rm{Bi}}}} = {r_0} \cdot \sqrt[3]{{209}} = 1{,}4 \cdot {10^{ - 15}}{\rm{m}} \cdot \sqrt[3]{{209}} = 8{,}3 \cdot {10^{ - 15}}{\rm{m}}\]Die benötigte kinetische Energie ist gleich der potentiellen Energie der beiden positiv geladenen Kerne im Abstand \(r = {r_{{\rm{Ni}}}} + {r_{{\rm{Bi}}}} = 5{,}6 \cdot {10^{ - 15}}{\rm{m}} + 8{,}3 \cdot {10^{ - 15}}{\rm{m}} = 13{,}9 \cdot {10^{ - 15}}{\rm{m}}\):\[{E_{{\rm{kin}}}} = {E_{{\rm{pot}}}} = \frac{1}{{4 \cdot \pi \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{28 \cdot e \cdot 83 \cdot e}}{r}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{E_{{\rm{kin}}}} = \frac{1}{{4 \cdot \pi \cdot 8{,}85 \cdot {{10}^{ - 12}}\frac{{{\rm{As}}}}{{{\rm{Vm}}}}}} \cdot \frac{{28 \cdot 83 \cdot {{\left( {1{,}60 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{As}}} \right)}^2}}}{{13{,}9 \cdot {{10}^{ - 15}}\,{\rm{m}}}} = 0{,}24\,{\rm{GeV}}\]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Kern-/Teilchenphysik

Kernreaktionen