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Aufgabe

Relativer Massendefekt

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

a)Der Heizwert von fossilen Brennstoffen beträgt ca. \(H = 30\frac{{{\rm{MJ}}}}{{{\rm{kg}}}}\).

Berechne den relativen Massendefekt \(\frac{{\Delta m}}{m}\) bei der Verbrennung von \({1\,{\rm{kg}}}\) fossilen Brennstoffs (z.B. Kohle).

b)Berechne den relativen Massendefekt bei der Verschmelzung von zwei Deuterium-Kernen zu einem He-4-Kern, nach der Reaktionsgleichung\[{}_1^2{\rm{D + }}{}_1^2{\rm{D}} \to {}_2^4{\rm{He}}\]

c)Berechne, welche Energie frei wird, wenn man \({1\,{\rm{kg}}}\) Deuterium zu Helium verschmilzt.

d)Berechne, wie viel Kilogramm Kohle man verheizen müsste, um die gleiche Energie wie bei Teilaufgabe c) zu "gewinnen".

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a)Berechnung des Massendefekts aus der Energie, die beim Verbrennen von \({1\,{\rm{kg}}}\) fossilen Brennstoffs frei wird:
\[\Delta m = \frac{{\Delta E}}{{{c^2}}} \Rightarrow \Delta m = \frac{{30 \cdot {{10}^6}{\rm{J}}}}{{{{\left( {3{,}0 \cdot {{10}^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}}} = 3{,}3 \cdot {10^{ - 10}}\,{\rm{kg}}\]Damit ergibt sich\[\frac{{\Delta m}}{m} = \frac{{3{,}3 \cdot {{10}^{ - 10}}{\rm{kg}}}}{{1\,{\rm{kg}}}} = 3{,}3 \cdot {10^{ - 10}} = 3{,}3 \cdot {10^{ - 8}}\% \]
Dieser Massendefekt, der durch chemische Reaktionen ("Hüllenphysik") bewirkt wird, ist extrem klein.

b)Der Massendefekt kann sowohl mit den Kernmassen \({{m_{\rm{K}}}}\) als auch mit den Atommassen \({{m_{\rm{A}}}}\) bestimmt werden.
Rechnung mit den Kernmassen:
\[\Delta m_{\rm{K}} = 2 \cdot {m_{\rm{K}}}\left( {\rm{D}} \right) - {m_{\rm{K}}}\left( {{\rm{He}}} \right) = 2 \cdot 2,013553{\rm{u}} - 4,001506{\rm{u}} = 0,025600{\rm{u}}\]
Rechnung mit den Atommassen:
\[\Delta m_{\rm{A}} = 2 \cdot {m_{\rm{A}}}\left( {\rm{D}} \right) - {m_{\rm{A}}}\left( {{\rm{He}}} \right) = 2 \cdot 2,014102{\rm{u}} - 4,002603{\rm{u}} = 0,025598{\rm{u}}\]
Berechnung des relativen Massendefekts mit den Kernmassen:
\[\frac{{\Delta m_{\rm{K}}}}{m} = \frac{{0,025598\rm{u}}}{2 \cdot {m_{\rm{K}}}\left( {\rm{D}} \right)} = \frac{{0,0256008{\rm{u}}}}{{2 \cdot 2,013553{\rm{u}}}} = 6,36 \cdot {10^{ - 3}} = 0,636\% \]

c)Berechnung des Massendefekts für die Reaktion von \({1\,{\rm{kg}}}\) Deuterium:
\[\frac{{\Delta m}}{m} = 6{,}36 \cdot {10^{ - 3}} \Leftrightarrow \Delta m = 6{,}36 \cdot {10^{ - 3}} \cdot m\]\[\Rightarrow \Delta m = 6{,}36 \cdot {10^{ - 3}} \cdot 1\,{\rm{kg}} = 6{,}36 \cdot {10^{ - 3}}\,{\rm{kg}}\] Berechnung der zugehörigen Energie: \[\Delta E = \Delta m \cdot {c^2}\] \[\Rightarrow \Delta E = 6{,}36 \cdot {10^{ - 3}}\,{\rm{kg}} \cdot {\left( {3{,}0 \cdot {{10}^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)^2} = 5{,}27 \cdot {10^{14}}\,{\rm{J}}\]

d)Berechnung der Kohlen-Masse, damit die gleiche Energiemenge entsteht:
\[H = \frac{{\Delta E}}{{{m_{{\rm{Kohle}}}}}} \Leftrightarrow {m_{{\rm{Kohle}}}} = \frac{{\Delta E}}{H} \Rightarrow {m_{{\rm{Kohle}}}} = \frac{{5,27 \cdot {{10}^{14}}{\rm{J}}}}{{30 \cdot {{10}^6}\frac{{\rm{J}}}{{{\rm{kg}}}}}} = 19 \cdot {10^6}\,{\rm{kg}} = 19000\,{\rm{t}}\]
Man müsste also ca. 19000 Tonnen Kohle verbrennen, um die gleiche Energie zu bekommen, wie bei der Fusion von \(1\,{\rm{kg}}\) Deuterium.

Hinweis: Die hier angegebenen Kernmassen wurden berechnet aus den in der vom AMDC-Atomic Mass Data Center im Rahmen der AME2016 angegebenen Atommassen abzüglich der Masse der Elektronen ohne Berücksichtigung der Bindungsenergie der Elektronen, die lediglich in der Größenordnung von wenigen \(\rm{eV}\) liegt.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Kern-/Teilchenphysik

Kernreaktionen