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Aufgabe

Moderation von Neutronen

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

a)Ein Neutron (Masse \({m_n}\)) stoße zentral und elastisch mit einem zunächst ruhenden Kern (Masse \({m_{\rm{K}}}\)).
Zeige mit Hilfe der Beziehungen des elastischen zentralen Stoßes, dass für das Verhältnis von Energieverlust des Neutrons \(\Delta E\) zu dessen ursprünglicher kinetischer Energie gilt
\[\frac{{\Delta E}}{{{E_{{\rm{kin}}{\rm{,vorher}}}}}} = \frac{{4 \cdot {m_n} \cdot {m_{\rm{K}}}}}{{{{\left( {{m_n} + {m_{\rm{K}}}} \right)}^2}}} = \frac{4}{{\frac{{{m_{\rm{K}}}}}{{{m_n}}} + 2 + \frac{{{m_n}}}{{{m_{\rm{K}}}}}}}\]

b)Untersuche, für welches Verhältnis \(\frac{m_k}{m_n} = q\) der Energieverlust des Neutrons maximal ist.

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a)Der Energieverlust des Neutrons \({\Delta E}\) ist gleich dem Energiegewinn des Kerns \(\Delta {E_{\rm{K}}}\). Wie die Rechnung zur Massenbestimmung des Neutrons zeigt, ist die Geschwindigkeit des Rückstoßkerns nach dem Stoß
\[{v_{\rm{K}}}^\prime  = \frac{{2 \cdot {m_n} \cdot {v_n}}}{{{m_n} + {m_{\rm{K}}}}}\]
Somit gilt für \({\Delta E}\)
\[\Delta E = \Delta {E_{\rm{K}}} = \frac{1}{2} \cdot {m_{\rm{K}}} \cdot {\left( {{v_{\rm{K}}}^\prime  - 0} \right)^2} = \frac{1}{2} \cdot {m_{\rm{K}}} \cdot {\left( {\frac{{2 \cdot {m_n} \cdot {v_n}}}{{{m_n} + {m_{\rm{K}}}}}} \right)^2} = \frac{{2 \cdot {m_{\rm{K}}} \cdot {{\left( {{m_n} \cdot {v_n}} \right)}^2}}}{{{{\left( {{m_n} + {m_{\rm{K}}}} \right)}^2}}} = \frac{{2 \cdot {m_{\rm{K}}} \cdot {m_n}^2 \cdot {v_n}^2}}{{{{\left( {{m_n} + {m_{\rm{K}}}} \right)}^2}}}\]
Für das gesuchte Energieverhältnis gilt dann
\[\frac{{\Delta E}}{{{E_{{\rm{kin}}{\rm{,vorher}}}}}} = \frac{{\frac{{2 \cdot {m_{\rm{K}}} \cdot {m_n}^2 \cdot {v_n}^2}}{{{{\left( {{m_n} + {m_{\rm{K}}}} \right)}^2}}}}}{{\frac{1}{2} \cdot {m_n} \cdot {v_n}^2}} = \frac{{4 \cdot {m_n} \cdot {m_{\rm{K}}}}}{{{{\left( {{m_n} + {m_{\rm{K}}}} \right)}^2}}} = \frac{4}{{\frac{{{m_{\rm{K}}}}}{{{m_n}}} + 2 + \frac{{{m_n}}}{{{m_{\rm{K}}}}}}}\]

b)Führt man in die gewonnene Beziehung den Faktor \({q = \frac{{{m_{\rm{K}}}}}{{{m_n}}}}\) ein, so gilt
\[\frac{{\Delta E}}{{{E_{{\rm{kin}}{\rm{,vorher}}}}}} = \frac{4}{{q + 2 + \frac{1}{q}}}\]
Der obige Quotient wird maximal, wenn der Nenner des Bruches minimal wird, d.h. man sucht nach einem Minimum der Funktion \({f(q) = q + 2 + \frac{1}{q}}\):
\[{f'(q) = 1 - \frac{1}{{{q^2}}} = 0\;;\;L = \left\{ -1\;;\;1 \right\}}\]
\[{f''(q) = \frac{2}{{{q^3}}}\;;\;f''( - 1) < 0\;;\;f''(1) > 0}\]
Der relative Energieverlust des Neutrons ist also dann am größten, wenn
\[q = \frac{{{m_{\rm{K}}}}}{{{m_n}}} = 1 \Leftrightarrow {m_n} = {m_{\rm{K}}}\]
es also mit einem Kern stößt, dessen Masse gleich der Neutronenmasse ist.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Kern-/Teilchenphysik

Kernreaktionen