Kernreaktionen

Die Reaktionsgleichung lautet\[{}_9^{19}{\rm{F}} + {}_1^1{\rm{p}} \to {}_8^{16}{\rm{O}} + {}_2^4{\rm{He}}\]
Wir verwenden zur \(Q\)-Wert-Berechnung die Atommassen; damit ergibt sich
\[\begin{eqnarray}Q &=& \Delta m \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {{m_{\rm{A}}}\left( {_9^{19}{\rm{F}}} \right) + {m_{\rm{A}}}\left( {{}_1^1{\rm{H}}} \right) - \left( {{m_{\rm{A}}}\left( {{}_8^{16}{\rm{O}}} \right) + {m_{\rm{A}}}\left( {_2^4{\rm{He}}} \right)} \right)} \right] \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {{m_{\rm{A}}}\left( {_9^{19}{\rm{F}}} \right) + {m_{\rm{A}}}\left( {{}_1^1{\rm{H}}} \right) - {m_{\rm{A}}}\left( {{}_8^{16}{\rm{O}}} \right) - {m_{\rm{A}}}\left( {_2^4{\rm{He}}} \right)} \right] \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {18{,}998403{\rm{u}} + 1{,}007825{\rm{u}} - 15{,}994915{\rm{u}} - 4{,}002603{\rm{u}}} \right] \cdot {c^2}\\ &=& 0{,}008710 \cdot u \cdot {c^2}\\ &=& 0{,}008710 \cdot 931{,}49\,{\rm{MeV}}\\ &=& 8{,}113\,{\rm{MeV}}\end{eqnarray}\]

Joachim Herz Stiftung

Aus dem Vektor-Impuls-Diagramm folgert man mittels Hypotenusensatz von Pythagoras
\[{p_{\rm{R}}}^2 = {p_{\rm{P}}}^2 + {p_\alpha }^2\]
Mit \({p^2} = 2 \cdot m \cdot E\) ergibt sich daraus
\[2 \cdot {m_{\rm{R}}} \cdot {E_{\rm{R}}} = 2 \cdot {m_{\rm{P}}} \cdot {E_{\rm{P}}} + 2 \cdot {m_\alpha } \cdot {E_\alpha } \Leftrightarrow {E_{\rm{R}}} = \frac{{{m_{\rm{P}}} \cdot {E_{\rm{P}}} + {m_\alpha } \cdot {E_\alpha }}}{{{m_{\rm{R}}}}}\]

Aus
\[{E_{\rm{P}}} + Q = {E_\alpha } + {E_{\rm{R}}}\]
erhält man mit dem Ergebnis von Teilaufgabe b)
\[\begin{eqnarray}{E_{\rm{P}}} + Q &=& {E_\alpha } + \frac{{{m_{\rm{P}}} \cdot {E_{\rm{P}}} + {m_\alpha } \cdot {E_\alpha }}}{{{m_{\rm{R}}}}}\;| \cdot {m_{\rm{R}}}\\{E_{\rm{P}}} \cdot {m_{\rm{R}}} + Q \cdot {m_{\rm{R}}} &=& {E_\alpha } \cdot {m_{\rm{R}}} + {m_{\rm{P}}} \cdot {E_{\rm{P}}} + {m_\alpha } \cdot {E_\alpha }\\{E_{\rm{P}}} \cdot {m_{\rm{R}}} - {m_{\rm{P}}} \cdot {E_{\rm{P}}} &=& {E_\alpha } \cdot {m_{\rm{R}}} + {m_\alpha } \cdot {E_\alpha } - Q \cdot {m_{\rm{R}}}\\{E_{\rm{P}}} \cdot \left( {{m_{\rm{R}}} - {m_{\rm{P}}}} \right) &=& {E_\alpha } \cdot \left( {{m_{\rm{R}}} + {m_\alpha }} \right) - Q \cdot {m_{\rm{R}}}\\{E_{\rm{P}}} &=& \frac{{{E_\alpha } \cdot \left( {{m_{\rm{R}}} + {m_\alpha }} \right) - Q \cdot {m_{\rm{R}}}}}{{{m_{\rm{R}}} - {m_{\rm{P}}}}}\end{eqnarray}\]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[{E_{\rm{P}}} = \frac{{8{,}5\,{\rm{MeV}} \cdot \left( {16{,}0{\rm{u}} + 4{,}0{\rm{u}}} \right) - 8{,}115\,{\rm{MeV}} \cdot 16{,}0{\rm{u}}}}{{16{,}0{\rm{u}} - 1{,}0{\rm{u}}}} = 2{,}7\,{\rm{MeV}}\]
Dabei genügen jeweils eine Dezimale, so dass auch der Unterschied zwischen Kernmasse und Atommasse unerheblich ist.

Aus dem Vektordiagramm ergibt sich
\[\tan \left( \delta  \right) = \frac{{{p_\alpha }}}{{{p_{\rm{p}}}}} = \frac{{\sqrt {2 \cdot {m_\alpha } \cdot {E_\alpha }} }}{{\sqrt {2 \cdot {m_{\rm{P}}} \cdot {E_{\rm{P}}}} }} = \sqrt {\frac{{{m_\alpha } \cdot {E_\alpha }}}{{{m_{\rm{P}}} \cdot {E_{\rm{P}}}}}}\] \[\Rightarrow \tan \left( \delta  \right) = \sqrt {\frac{{4{,}0{\rm{u}} \cdot 8{,}5\,{\rm{MeV}}}}{{1{,}0{\rm{u}} \cdot 2{,}7\,{\rm{MeV}}}}}=3{,}55\Rightarrow \delta= 74^\circ \]