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Aufgabe

Kernreaktion mit Fluor (Abitur BY 1999 LK A4-1)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

In einer Nebelkammer werden ruhende \({}^{19}{\rm{F}}\)-Atome mit Protonen beschossen. Bei der Absorption eines Protons durch einen \({}^{19}{\rm{F}}\)-Atomkern wird ein α-Teilchen emittiert.

a)Gib die Reaktionsgleichung an.

Berechne die bei der Reaktion frei werdende Energie \(Q\). [zur Kontrolle: \(Q = 8{,}115\,{\rm{MeV}}\)] (6 BE)

Bei einer dieser Reaktionen beobachtet man einen rechten Winkel zwischen der Bahn des einfallenden Protons und der des emittierten α -Teilchens. Aus der Reichweite des α -Teilchens kann man dabei auf eine kinetische Energie \({E_\alpha } = 8{,}5\,{\rm{MeV}}\) schließen. Die kinetische Energie \(E_{\rm{p}}\) des einfallenden Protons ist zunächst unbekannt.

b)Stelle qualitativ die bei dieser Reaktion auftretenden Impulse vektoriell dar.

Zeige unter Verwendung des nicht-relativistischen Energie-Impuls-Zusammenhangs, dass für die kinetische Energie \(E_{\rm{R}}\) des Restkerns gilt:
\[{E_{\rm{R}}} = \frac{{{E_{\rm{p}}} \cdot {m_{\rm{p}}} + {E_\alpha } \cdot {m_\alpha }}}{{{m_{\rm{R}}}}}\]
\({{m_{\rm{p}}}}\), \({{m_\alpha }}\) und \({{m_{\rm{R}}}}\) bedeuten die Massen von Proton, α -Teilchen und Restkern.(8 BE)

c)Formuliere den Zusammenhang zwischen den kinetischen Energien vor und nach der Reaktion.

Berechne den Wert von \(E_{\rm{p}}\). [zur Kontrolle: \({E_p} = 2{,}7\,{\rm{MeV}}\)] (7 BE)

d)Berechne die Weite \(\delta \) des Winkels zwischen der Richtung des einfallenden Protons und der Bahn des Restkerns nach der Reaktion. (5 BE)

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)Die Reaktionsgleichung lautet\[{}_9^{19}{\rm{F}} + {}_1^1{\rm{p}} \to {}_8^{16}{\rm{O}} + {}_2^4{\rm{He}}\]
Wir verwenden zur \(Q\)-Wert-Berechnung die Atommassen; damit ergibt sich
\[\begin{eqnarray}Q &=& \Delta m \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {{m_{\rm{A}}}\left( {_9^{19}{\rm{F}}} \right) + {m_{\rm{A}}}\left( {{}_1^1{\rm{H}}} \right) - \left( {{m_{\rm{A}}}\left( {{}_8^{16}{\rm{O}}} \right) + {m_{\rm{A}}}\left( {_2^4{\rm{He}}} \right)} \right)} \right] \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {{m_{\rm{A}}}\left( {_9^{19}{\rm{F}}} \right) + {m_{\rm{A}}}\left( {{}_1^1{\rm{H}}} \right) - {m_{\rm{A}}}\left( {{}_8^{16}{\rm{O}}} \right) - {m_{\rm{A}}}\left( {_2^4{\rm{He}}} \right)} \right] \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {18{,}998403{\rm{u}} + 1{,}007825{\rm{u}} - 15{,}994915{\rm{u}} - 4{,}002603{\rm{u}}} \right] \cdot {c^2}\\ &=& 0{,}008710 \cdot u \cdot {c^2}\\ &=& 0{,}008710 \cdot 931{,}49\,{\rm{MeV}}\\ &=& 8{,}113\,{\rm{MeV}}\end{eqnarray}\]

b)Aus dem Vektor-Impuls-Diagramm folgert man mittels Hypotenusensatz von Pythagoras
\[{p_{\rm{R}}}^2 = {p_{\rm{P}}}^2 + {p_\alpha }^2\]
Mit \({p^2} = 2 \cdot m \cdot E\) ergibt sich daraus
\[2 \cdot {m_{\rm{R}}} \cdot {E_{\rm{R}}} = 2 \cdot {m_{\rm{P}}} \cdot {E_{\rm{P}}} + 2 \cdot {m_\alpha } \cdot {E_\alpha } \Leftrightarrow {E_{\rm{R}}} = \frac{{{m_{\rm{P}}} \cdot {E_{\rm{P}}} + {m_\alpha } \cdot {E_\alpha }}}{{{m_{\rm{R}}}}}\]

c)Aus
\[{E_{\rm{P}}} + Q = {E_\alpha } + {E_{\rm{R}}}\]
erhält man mit dem Ergebnis von Teilaufgabe b)
\[\begin{eqnarray}{E_{\rm{P}}} + Q &=& {E_\alpha } + \frac{{{m_{\rm{P}}} \cdot {E_{\rm{P}}} + {m_\alpha } \cdot {E_\alpha }}}{{{m_{\rm{R}}}}}\;| \cdot {m_{\rm{R}}}\\{E_{\rm{P}}} \cdot {m_{\rm{R}}} + Q \cdot {m_{\rm{R}}} &=& {E_\alpha } \cdot {m_{\rm{R}}} + {m_{\rm{P}}} \cdot {E_{\rm{P}}} + {m_\alpha } \cdot {E_\alpha }\\{E_{\rm{P}}} \cdot {m_{\rm{R}}} - {m_{\rm{P}}} \cdot {E_{\rm{P}}} &=& {E_\alpha } \cdot {m_{\rm{R}}} + {m_\alpha } \cdot {E_\alpha } - Q \cdot {m_{\rm{R}}}\\{E_{\rm{P}}} \cdot \left( {{m_{\rm{R}}} - {m_{\rm{P}}}} \right) &=& {E_\alpha } \cdot \left( {{m_{\rm{R}}} + {m_\alpha }} \right) - Q \cdot {m_{\rm{R}}}\\{E_{\rm{P}}} &=& \frac{{{E_\alpha } \cdot \left( {{m_{\rm{R}}} + {m_\alpha }} \right) - Q \cdot {m_{\rm{R}}}}}{{{m_{\rm{R}}} - {m_{\rm{P}}}}}\end{eqnarray}\]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[{E_{\rm{P}}} = \frac{{8{,}5\,{\rm{MeV}} \cdot \left( {16{,}0{\rm{u}} + 4{,}0{\rm{u}}} \right) - 8{,}115\,{\rm{MeV}} \cdot 16{,}0{\rm{u}}}}{{16{,}0{\rm{u}} - 1{,}0{\rm{u}}}} = 2{,}7\,{\rm{MeV}}\]
Dabei genügen jeweils eine Dezimale, so dass auch der Unterschied zwischen Kernmasse und Atommasse unerheblich ist.

d)Aus dem Vektordiagramm ergibt sich
\[\tan \left( \delta  \right) = \frac{{{p_\alpha }}}{{{p_{\rm{p}}}}} = \frac{{\sqrt {2 \cdot {m_\alpha } \cdot {E_\alpha }} }}{{\sqrt {2 \cdot {m_{\rm{P}}} \cdot {E_{\rm{P}}}} }} = \sqrt {\frac{{{m_\alpha } \cdot {E_\alpha }}}{{{m_{\rm{P}}} \cdot {E_{\rm{P}}}}}}\] \[\Rightarrow \tan \left( \delta  \right) = \sqrt {\frac{{4{,}0{\rm{u}} \cdot 8{,}5\,{\rm{MeV}}}}{{1{,}0{\rm{u}} \cdot 2{,}7\,{\rm{MeV}}}}}=3{,}55\Rightarrow \delta= 74^\circ \]

Hinweis: Die hier angegebenen Kernmassen wurden berechnet aus den in der vom AMDC-Atomic Mass Data Center im Rahmen der AME2016 angegebenen Atommassen abzüglich der Masse der Elektronen ohne Berücksichtigung der Bindungsenergie der Elektronen, die lediglich in der Größenordnung von wenigen \(\rm{eV}\) liegt.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Kern-/Teilchenphysik

Kernreaktionen