Kernphysik - Grundlagen

Um die Masse des Neutrons m_n bestimmen zu können, geht man im einfachsten Fall von einem zentralen elastischen Stoß des Neutrons mit einem ruhenden Kern K der Masse m_k aus. In diesem Fall kann man den Energie- und Impulserhaltungssatz wie folgt ansetzen:

In diesen beiden Gleichungen sind die drei Größen m_n, v_n und v'_n unbekannt, während die Größen m_k und v´_k als gegeben vorausgesetzt werden dürfen (die Gasfüllung der Nebelkammer legt die Art des Rückstoßkernes fest, die Spurlänge gibt Aufschluss über die kinetische Energie und damit die Geschwindigkeit des Rückstoßkerns v´_k. Um zu einer Bestimmung von m_n zu gelangen reichen also diese beiden Gleichungen für eine Sorte von Rückstoßkernen nicht aus. Wie Sie sehen werden kommt man jedoch zu einer Lösung, wenn man die Betrachtung auf zwei verschiedene Sorten von Rückstoßkernen ausdehnt. Vorher sollen aber noch einige algebraische Umformungen durchgeführt werden:

Dividiert man \((1)\) durch \((2)\), so erhält man\[\frac{{{m_n} \cdot \left( {{v_n}^2 - {{v'}_n}^2} \right)}}{{{m_n} \cdot \left( {{v_n} - {{v'}_n}} \right)}} = \frac{{{m_{\rm{K}}} \cdot {{v'}_{\rm{K}}}^2}}{{{m_{\rm{K}}} \cdot {{v'}_{\rm{K}}}}} \Leftrightarrow \frac{{{m_n} \cdot \left( {{v_n} - {{v'}_n}} \right) \cdot \left( {{v_n} + {{v'}_n}} \right)}}{{{m_n} \cdot \left( {{v_n} - {{v'}_n}} \right)}} = \frac{{{m_{\rm{K}}} \cdot {{v'}_{\rm{K}}}^2}}{{{m_{\rm{K}}} \cdot {{v'}_{\rm{K}}}}} \Leftrightarrow {v_n} + {{v'}_n} = {{v'}_{\rm{K}}} \Leftrightarrow {{v'}_n} = {{v'}_{\rm{K}}} - {v_n}\]Setzt man diese Beziehung in \((2)\) ein, so ergibt sich\[{m_n} \cdot \left( {{v_n} - \left( {{{v'}_{\rm{K}}} - {v_n}} \right)} \right) = {m_{\rm{K}}} \cdot {{v'}_{\rm{K}}} \Leftrightarrow {m_n} \cdot \left( {2 \cdot {v_n} - {{v'}_{\rm{K}}}} \right) = {m_{\rm{K}}} \cdot {{v'}_{\rm{K}}} \Leftrightarrow {{v'}_{\rm{K}}} = \frac{{2 \cdot {m_n}}}{{{m_n} + {m_{\rm{K}}}}} \cdot {v_n}\]Als Rückstoßkerne werden nun einmal Protonen (Wasserstoffkerne mit m_p = 1u) und Stickstoffkerne (m_N = 14u) betrachtet. Aus der letzten Beziehung für die Geschwindigkeit des Rückstoßkerns ergibt sich dann\[\left. \begin{array}{l}{{v'}_{\rm{p}}} = \frac{{2 \cdot {m_n}}}{{{m_n} + {m_{\rm{p}}}}} \cdot {v_n}\\{{v'}_{\rm{N}}} = \frac{{2 \cdot {m_n}}}{{{m_n} + {m_{\rm{N}}}}} \cdot {v_n}\end{array} \right\} \Rightarrow \frac{{{{v'}_{\rm{p}}}}}{{{{v'}_{\rm{N}}}}} = \frac{{\frac{{2 \cdot {m_n}}}{{{m_n} + {m_{\rm{p}}}}} \cdot {v_n}}}{{\frac{{2 \cdot {m_n}}}{{{m_n} + {m_{\rm{N}}}}} \cdot {v_n}}} = \frac{{{m_n} + {m_{\rm{N}}}}}{{{m_n} + {m_{\rm{p}}}}}(3)\]Erweitert man die Gleichung \((3)\) so, dass im Bruch der linken Gleichungsseite die aus dem Versuch bekannten kinetischen Energien der Rückstoßkerne auftreten (E'_kin,p : E'_kin,N = 5,7 : 1,2), so ergibt sich\[\frac{{{{E'}_{{\rm{kin}}{\rm{,p}}}}}}{{{{E'}_{{\rm{kin}}{\rm{,n}}}}}} = \frac{{\frac{1}{2} \cdot {m_{\rm{p}}} \cdot {{v'}_{\rm{p}}}^2}}{{\frac{1}{2} \cdot {m_{\rm{N}}} \cdot {{v'}_{\rm{N}}}^2}} = \frac{{{m_{\rm{p}}}}}{{{m_{\rm{N}}}}} \cdot {\left( {\frac{{{m_n} + {m_{\rm{N}}}}}{{{m_n} + {m_{\rm{p}}}}}} \right)^2}\]Einsetzen der gegebenen Werte  liefert\[\frac{{5,7}}{{1,2}} = \frac{{1{\rm{u}}}}{{14{\rm{u}}}} \cdot {\left( {\frac{{{m_n} + 14{\rm{u}}}}{{{m_n} + 1{\rm{u}}}}} \right)^2} \Rightarrow \frac{{{m_n} + 14{\rm{u}}}}{{{m_n} + 1{\rm{u}}}} = \sqrt {66,5}  = 8,2 \Rightarrow {m_n} = 0,8{\rm{u}}\]Man sieht also, dass CHADWICK die Größenordnung der Neutronenmasse mit Hilfe der kinetischen Energie der Rückstoßkerne richtig bestimmen konnte. Eine genauere Massenbestimmung ist über den sogenannten Kernphotoeffekt (Link am Ende dieses Artikels) möglich.