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Aufgabe

Kerndichte

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

a)Zeige mit Hilfe der empirisch gefundenen Formel für den Kernradius, dass die Dichte der Atomkerne nahezu unabhängig von der Massezahl \(A\) und somit nahezu eine Konstante ist.

b)Berechne den ungefähren Wert der Kerndichte.

c)Ein Neutronenstern hat etwa die Dichte der Kernmaterie. Berechne den Radius eines Neutronensterns, der die Masse unserer Sonne hat und vergleiche mit dem Sonnenradius.

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a)Für den Kernradius gilt ungefähr \({r_{{\rm{Kern}}}} = {r_0} \cdot \sqrt[3]{A}\) mit \({r_0} = 1,4 \cdot {10^{ - 15}}{\rm{m}}\). Für die Dichte der Kernmaterie gilt damit
\[{\rho _{{\rm{Kern}}}} = \frac{{{m_{{\rm{Kern}}}}}}{{{V_{{\rm{Kern}}}}}} = \frac{{A \cdot u}}{{\frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r_{{\rm{Kern}}}}^3}} = \frac{{A \cdot u}}{{\frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {{\left( {{r_0} \cdot \sqrt[3]{A}} \right)}^3}}} = \frac{{A \cdot u}}{{\frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r_0}^3 \cdot A}} = \frac{{3 \cdot u}}{{4 \cdot \pi  \cdot {r_0}^3}}\]
wobei \(u\) die Masse eines Kernbausteins wie Neutron oder Proton ist. Man sieht an dem Ausdruck, dass die Kerndichte nur noch von Konstanten und nicht von \(A\) abhängt.

b)Durch Einsetzen von Zahlenwerten in die Gleichung von Teilaufgabe a) erhält man
\[{\rho _{{\rm{Kern}}}} = \frac{{3 \cdot 1,67 \cdot {{10}^{ - 27}}{\rm{kg}}}}{{4 \cdot \pi  \cdot {{\left( {1,4 \cdot {{10}^{ - 15}}{\rm{m}}} \right)}^3}}} = 1,5 \cdot {10^{17}}\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\]

c)Da die Masse des Neutronensterns gleich der Masse der Sonne sein soll, ergibt sich
\[{\rho _{{\rm{Kern}}}} \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r_{{\rm{Neutronenstern}}}}^3 = {m_{{\rm{Sonne}}}} \Rightarrow {r_{{\rm{Neutronenstern}}}} = \sqrt[3]{{\frac{{3 \cdot {m_{{\rm{Sonne}}}}}}{{4 \cdot \pi  \cdot {\rho _{{\rm{Kern}}}}}}}}\]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[{r_{{\rm{Neutronenstern}}}} = \sqrt[3]{{\frac{{3 \cdot 1,98 \cdot {{10}^{30}}{\rm{kg}}}}{{4 \cdot \pi  \cdot 1,5 \cdot {{10}^{17}}\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}}}}} = 1{,}5 \cdot {10^4}\,{\rm{m}} = 15\,{\rm{km}}\]
Im Vergleich hierzu: Der Sonnenradius beträgt ca. \(700000\) Kilometer.