a)Für den Kernradius gilt ungefähr \({r_{{\rm{Kern}}}} = {r_0} \cdot \sqrt[3]{A}\) mit \({r_0} = 1,4 \cdot {10^{ - 15}}{\rm{m}}\). Für die Dichte der Kernmaterie gilt damit
\[{\rho _{{\rm{Kern}}}} = \frac{{{m_{{\rm{Kern}}}}}}{{{V_{{\rm{Kern}}}}}} = \frac{{A \cdot u}}{{\frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {r_{{\rm{Kern}}}}^3}} = \frac{{A \cdot u}}{{\frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {{\left( {{r_0} \cdot \sqrt[3]{A}} \right)}^3}}} = \frac{{A \cdot u}}{{\frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {r_0}^3 \cdot A}} = \frac{{3 \cdot u}}{{4 \cdot \pi \cdot {r_0}^3}}\]
wobei \(u\) die Masse eines Kernbausteins wie Neutron oder Proton ist. Man sieht an dem Ausdruck, dass die Kerndichte nur noch von Konstanten und nicht von \(A\) abhängt.
b)Durch Einsetzen von Zahlenwerten in die Gleichung von Teilaufgabe a) erhält man
\[{\rho _{{\rm{Kern}}}} = \frac{{3 \cdot 1,67 \cdot {{10}^{ - 27}}{\rm{kg}}}}{{4 \cdot \pi \cdot {{\left( {1,4 \cdot {{10}^{ - 15}}{\rm{m}}} \right)}^3}}} = 1,5 \cdot {10^{17}}\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\]
c)Da die Masse des Neutronensterns gleich der Masse der Sonne sein soll, ergibt sich
\[{\rho _{{\rm{Kern}}}} \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {r_{{\rm{Neutronenstern}}}}^3 = {m_{{\rm{Sonne}}}} \Rightarrow {r_{{\rm{Neutronenstern}}}} = \sqrt[3]{{\frac{{3 \cdot {m_{{\rm{Sonne}}}}}}{{4 \cdot \pi \cdot {\rho _{{\rm{Kern}}}}}}}}\]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[{r_{{\rm{Neutronenstern}}}} = \sqrt[3]{{\frac{{3 \cdot 1,98 \cdot {{10}^{30}}{\rm{kg}}}}{{4 \cdot \pi \cdot 1,5 \cdot {{10}^{17}}\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}}}}} = 1{,}5 \cdot {10^4}\,{\rm{m}} = 15\,{\rm{km}}\]
Im Vergleich hierzu: Der Sonnenradius beträgt ca. \(700000\) Kilometer.
